Schreibe die abzubildenden Vektoren als Summe der Basisvektoren.
$$\binom{1}{0} = \frac{1}{2} \left( \binom{1}{1} +\binom{1}{-1} \right) \text{ und } \binom{0}{1} = \frac{1}{2} \left( \binom{1}{1} -\binom{1}{-1} \right)$$
Ist f linear (davon gehe ich hier aus; aus der Aufgabenstellung geht das nicht wirklich hervor), so gilt also $$f(\binom{1}{0})=\frac{1}{2} \left( f(\binom{1}{1}) +f(\binom{1}{-1}) \right) \text{ und } f(\binom{0}{1}) = \frac{1}{2} \left( f(\binom{1}{1}) -f(\binom{1}{-1}) \right)$$
P.S. Abbildungen haben keine Basen. Ein Vektorraum hat eine Basis.