Ermitteln des Funktionswerts mithilfe der Basis einer linearen Abbildung?!

Question

Wie bestimme ich mithilfe der Basis $M=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)\right\}$ im $R^{2} \rightarrow R^{4}$, mit $f\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ und $f\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), f\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ und $f\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$?

Muss ich erst das Bild von der Basis ermitteln, wenn ja wie würde der Ansatz dazu lauten?

Answer 1

Schreibe die abzubildenden Vektoren als Summe der Basisvektoren.

$$\binom{1}{0} = \frac{1}{2} \left( \binom{1}{1} +\binom{1}{-1} \right) \text{ und } \binom{0}{1} = \frac{1}{2} \left( \binom{1}{1} -\binom{1}{-1} \right)$$

Ist f linear (davon gehe ich hier aus; aus der Aufgabenstellung geht das nicht wirklich hervor), so gilt also $$f(\binom{1}{0})=\frac{1}{2} \left( f(\binom{1}{1}) +f(\binom{1}{-1}) \right) \text{ und } f(\binom{0}{1}) = \frac{1}{2} \left( f(\binom{1}{1}) -f(\binom{1}{-1}) \right)$$

P.S. Abbildungen haben keine Basen. Ein Vektorraum hat eine Basis.

Comments

Vielen Dank für die schnelle antwort :)

gilt dies bezüglich auch der matrizen? Ja und f ist lineare, habe dies in der frage wohl vergessen mit einzubringen.

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Ich sehe hier nirgends Matrizen, nur Vektoren.

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ah wo du es sagst ist mir grad selbst nicht aufgefallen lag wohl an der überschrift der Aufgabe Matrix und Lineare Abbildungen. vielen dank nochmal