fläche integrieren brüche

Question

Aufgabe:) [5,4]  ∫1/(1.2x+5)

Berechne die Fläche zwischen den Punkten 5 und 4

ich komme hier nicht weiter, kann mir jemand bitte weiter helfen?

Was ist meine äußere bzw. innere Ableitung

Answer 1

Soll das vielleicht heißen:

Berechnen Sie die Fläche zwischen

Funktionsgraph und x-Achse über dem

Intervall [4;5]  für f(x) = 6/(1.2x+5) 

Dann wäre es

$$\int \limits_{4}^{5}\frac{6}{1.2x+5} dx = [5ln(6x+25)]_4^5 = 5ln(55)- 5ln(49)= 5ln(\frac{55}{49})$$

Das ist ungefähr 0,5776 .

Comments

kannst du auch bitte die nebenschritte angeben?

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was wäre hier die äußere bzw. die innere ableitung

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Meinst du: Zur Probe mal ableiten:

Dann hast du  g(x) = 5*ln(6x+25)

Das gibt g ' (x) = 5 *  Ableitung von ln(6x+25)

Dabei ist ln(x) die äußere  ( mit Abl. 1/x )   und

i(x) = 6x+25 die innere Funktion, also

hast du  g ' (x) = 5 *  1 / i(x)   *   i ' (x)

                      = 5 * 1 / ( 6x+25) *  6

                      = 30 /  ( 6x+25)   mit 5 kürzen gibt

                      = 6 / ( 1,2x + 5 )

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Nein ich meinte die partielle Integration, tut mir leid

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Hier hätte ich allerdings nach der Substitutionsregel integriert.

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du hast es umgekehrt gemacht oder habe ich die partielle Substituion falsch verstanden. wie komme ich von der anfangsfunktion  ∫6/(1.2x+5) auf 5*ln(6x+25)-4.5, habe es mit geogebra berechnet und bin auf dann auf die Funktion gekommen

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Substitutionsregel siehe etwa hier

https://asset.klett.de/assets/fcf152a1/be06f1a98698485b3db26afc323add5ddcca66d1.pdf

Also muss ich ( erst mal ohne die Grenzen ) mir das so vorstellen

∫  6/(1.2x+5)  dx = ∫ f ( g(x) ) * g ' (x)   dx

Und da denke ich mir f(x) = 6 / x und g(x) = 1,2x+5

allerdings fehlt mir dann der Faktor g ' (x) , der müsste ja 1,2 bzw. 6/5 sein.

Da mache ich einfach den Trick, dass gilt

∫  6/(1.2x+5)  dx = (5/6) * ∫  6/(1.2x+5)  *6/5)dx

dann habe ich es in der passenden Form

                  = (5/6) *  ∫ f ( g(x) ) * g ' (x)  dx

mit f(x) = 6 / x und g(x) = 1,2x+5 , also gilt nach der

Substitutionsregel =  (5/6) *  ∫ 6/z  dz

und eine Stammfunktion ist dann (5/6) * 6ln(z) = 5ln(z).

Allerdings muss ich jetzt ja noch die Grenzen anpassen,

also für x=5 erhältst du  g(4)=49/5 und g(5)= 11=55/5

Das sind die Werte, die du bei 5ln(z) einsetzen musst.