Taylor-Entwicklung bis zur 3.Ordnung

Question

Folgende Funktionen sollen bis zur 3. Ordnung entwickelt werden um die angegebenen Punkte \( x_0 \).

a) \( f(x)=\cos (x), \quad x_{0}=0 \)

b) \( f(x)=\ln (x), \quad x_{0}=1 \)

c) \( f(x)=2 x(x-1)^{2}, \quad x_{0}=2 \)

\( \hookrightarrow \) Welches Ergebnis erwartet man bei \( x_{0}=3 \) und warum?


Lösungsansatz:

a) \( f(x)=\cos (x), \quad x_{0}=0 \)
\( f^{\prime}(x)=-\sin (x) \)
\( f^{\prime \prime}(x)=-\cos (x) \)
\( f^{\prime \prime \prime}(x)=\sin (x) \)
\( 0+(-\sin 0) · (x-0)+\left(\frac{-\cos }{2}\right) · (x-0)^{2}+\sin \frac{0}{6} · (x-0)^{3} \)

b) \( f(x)=\ln (x), x_{0}=1 \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{-1}{x^{2}} \)
\( f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{2}{x^{3}} \)

c) \( f(x)=2 x(x-1)^{2}, \quad x_{0}=2 \)
\( f^{\prime}(x)=4 \cdot(x-1) \cdot x+2 \cdot(x-1)^{2} \)

Wie geht man bei Taylor-Entwicklungen vor?

Answer 1

Hier mal meine Berechnungen soweit:

Taylor-Entwicklung: f(x) = COS(x), x0 = 0

f(x) = COS(x)

f'(x) = - SIN(x)

f''(x) = - COS(x)

f'''(x) = SIN(x)

 

Taylor-Polynom

T(x) = f(x0)/0! + f'(x0)/1!·x + f''(x0)/2!·x^2 + f'''(x0)/3!·x^3

T(x) = (COS(0))/1 + (- SIN(0))/1·x + (- COS(0))/2·x^2 + (SIN(0))/6·x^3

T(x) = 1 - x^2/2

 

Skizze

https://docs.google.com/document/d/18-KueqC5Gh4WOgDzKvjdNZj4JQzT2uegNrvEFKVTH7A/pub

und:

Taylor-Entwicklung: f(x) = LN(x), x0 = 1

f(x) = LN(x)

f'(x) = 1/x

f''(x) = - 1/x^2

f'''(x) = 2/x^3

 

Taylor-Polynom

T(x) = f(x0)/0! + f'(x0)/1!·(x - 1) + f''(x0)/2!·(x - 1)^2 + f'''(x0)/3!·(x - 1)^3

T(x) = (LN(1))/0! + (1/1)/1!·(x - 1) + (- 1/1^2)/2!·(x - 1)^2 + (2/1^3)/3!·(x - 1)^3

T(x) = 0 + 1·(x - 1) - 1/2·(x - 1)^2 + 1/3·(x - 1)^3

T(x) = 1/3·x^3 - 3/2·x^2 + 3·x - 11/6

 

Skizze

https://docs.google.com/document/d/1gpTtkhMnfODi5gVkQEzXxua291Hm7pTW2kCgvArJp-s/pub
 

bei c) bräuchte man nur ausmultiplizieren und man hat das Taylor-Polynom 3. Ordnung.

f(x) = 2·x·(x - 1)^2 = 2·x^3 - 4·x^2 + 2·x

Du könntest hier mal die Taylorentwicklung machen.

Comments

Also, obwohl ich zum allerersten Mal Aufgaben zu Taylor-Entwicklungen bearbeite, kann ich Dank deiner ausführlichen Berechnung einen Algorithmus erlernen, also wie man generell solche Aufgaben berechnen kann. Ich versuche nun c) zu berechnen:

c)
Taylor-Entwicklung: f(x)=2x(x-1)², x₀ = 1
f(x)=2x(x-1)²=2x³-4x²+2x
f´(x)=6x²-8x+2
f''(x)=12x-8
f'''(x)=12

Taylor-Polynom

T(x) = f(x0)/0! + f'(x0)/1!·(x - 1) + f''(x0)/2!·(x - 1)^2 + f'''(x0)/3!·(x - 1)^3

T(x) = (2*1³-4*1²+2*1)/0! + (6*1²-8*1+2)/1!·(x - 1) + (12*1-8)/2!·(x - 1)^2 + (12)/3!·(x - 1)^3

T(x) = 0 + 0·(x - 1) - 2·(x - 1)^2 + 2·(x - 1)^3

T(x) = 2(x-1)²+2(x-1)³
= 2(x²-2x+1)+2(x³-3x²*(-1)+3x*(-1)²-(1)³
= 2x²-4x+2+2(x³+3x²+3x-1)
= 2x²-4x+2+2x³+3x²+3x-1
= 2x³+5x²-x+1


 

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Rein Grafisch sieht das Taylor-Polynom aber verkehrt aus.

T(x) = (2·1^3 - 4·1^2 + 2·1)/0! + (6·1^2 - 8·1 + 2)/1!·(x - 1) + (12·1 - 8)/2!·(x - 1)^2 + 12/3!·(x - 1)^3
T(x) = 0 + 0·(x - 1) + 2·(x - 1)^2 + 2·(x - 1)^3
T(x) = 2·(x - 1)^2·(1 + (x - 1))
T(x) = 2·(x - 1)^2·x = 2·x·(x - 1)^2

Es kommt hier also exakt die gleiche Funktion heraus.

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Stimmt, ein riesen Müll habe ich da geschrieben. Der 3. Schritt war noch in Ordnung, aber dann beginnt das Dilemma. Aus Gewohnheit wollte ich alles ausmultiplizieren... Danke nochmals für deine Unterstützung Der_Mathecoach und verbleibe  

 

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Hm, du rechnest hier aber, wie du oben geschrieben hast, mit x0 = 1. Sollst du aber nicht nach Aufgabenstellung mit x0 = 2 bzw. was passiert wenn man x0 = 3 einsetzt rechnen? Oder haben ich mich da verschaut?

Grüße

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Ne du hast recht. es ist mit x0 = 2 zu rechnen. Ich habe es mir x0 = 1 gemacht. Aber es ist egal an welcher Stelle man es macht. Wenn man eine Funktion 3. Grades durch ein Tylorpolynom dritten gerades nähert, kommt immer das ursprüngliche Polynom heraus.

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ahhh, super danke, jetzt hats klick gemacht :)

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Ich habe mich auch gerade gewundert. Ich wollte die Aufgabe aufschreiben und habe festgestellt, dass statt x₀₌2, x₀₌1 steht. Aber, das Problem hat sich aufgelöst, da du es bereits gut erklärt hast (Regel Taylorpolynom 3.Grades).