Eine mögliche Funktionsgleichung bestimmen

Question

Text erkannt:

8. Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion \( \mathrm{f} \). Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung.
a)
b)

Aufgabe:

Answer 1

a)

f(x) = 2/3^2·(x - 3)^2 + 0

b)

2/1^3·(x - 1)^3 - 2

Ich habe die Funktionsterme bewusst nicht vereinfacht.

Answer 2

Hallo,

a) ist eine Parabel

    S( 3 | 0)       P ( 0| 2)   

     y= a (x-3)² +0      Punkt einsetzen

     2= a( 0-3)²        

    2=  9a        a= 2/9

     y= 2/9  (x-3)²    Scheitelpunktform

b)   y=ax³+bx² +cx+ d    Punkte    P (2|0) Q (0|-4)   Sattelpunkt (1|-2)  d= -4   Punkte einsetzen und lösen

   

Answer 3

Hallo Hatice,

zu 8a) das kann eine Parabel sein mit einer doppelten Nullstelle bei \(x=3\). Die Gleichung der Funktion lautet demnach$$f(x)= a(x-3)^2$$Bei \(x=0\) soll \(f(0)=2\) sein. Daraus folgt$$\begin{aligned} f(0) = 2 &= a(0-3)^2 \\ &= 9a \\ \implies a &= \frac 29 \end{aligned}$$

Bei 8b) liegt sicher eine kubische Funktion vor. Der Sattelpunkt liegt bei \(x=1\). Hier muss sowohl die erste als auch die zweite Ableitung \(=0\) sein. Folglich kann man ansetzen:$$f(x) = a(x-1)^3 + d$$Weiter muss erfüllt sein, dass \(f(1)=-2\), daraus folgt unmittelbar \(d=-2\). Und weiter muss erfüllt sein, dass \(f(2) = 0\). Daraus folgt$$\begin{aligned} f(2) = 0 &= a(2-1)^3 - 2 \\ &= a - 2 \\ \implies a &= 2\end{aligned}$$Zur Kontrolle noch mal die Graphen:

~plot~ (2/9)*(x-3)^2;2(x-1)^3-2;[[-2|8|-4|3]];{1|-2};{0|2};{2|0};{3|0} ~plot~

Answer 4

a) Scheitelform der Parabel

f(x)=a*(x-3)^2+0

P(0|2)

f(0)=a*(0-3)^2+0

a*(0-3)^2+0=2

a=...

b)

Ich verschiebe die Funktion um 2 Einheiten nach oben. Nun wird der Sattelpunkt zu einer dreifachen Nullstelle.

p(x)= a*(x-1)^3

Wegen der Symmetrie bei der x=1  verschiebt sich auch der Schnittpunkt von f(x)  mit der y-Achse um 2 Einheiten nach oben und du bekommst den Punkt P(0|2).

p(0)= a*(0-1)^3

a*(0-1)^3=2

a=...

Bitte Rückverschiebung nicht vergessen.

mfG
Moliets

Answer 5

Parabel
f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
f ( 0 ) = 2
f ( 3 ) = 0
f ´( 3 ) = 0

b:) Funktion 3.Grades
f ( x ) = a*x^3 + b* x^2 + c * x + d
f ( -2 ) = 1
f ´ ( -2 ) = 0
f ´´ ( -2 ) = 0
f ( 2 ) = 0

Bin gern weiter behilflich

Answer 6

a)

Scheitelpunkt bei (3|0)

f(x)=a(x-3)^2+0

Kurvenpunkt (0|2)

f(0)=2=a*(0-3)^2 → a=2/9

--> f(x)= 2/9 *(x-3)^2

--> f(x) = 2/9 *x^2 - 4/3 *x + 2

b)

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Die Kurve sieht wie der verschobene Graph von y=ax^3 aus.

Verschiebung um 1 nach rechts und 2 nach unten:

 x wird durch (x-1) ersetzt und 2 subtrahiert;

  y=a(x-1)^3-2

Nullstelle bei x=2:

  0=a-2 → a=2

 y=2*(x-1)^3-2

  f(x)=2x^3-6x^2+6x-4

:-)