Herleitung der Ableitungsfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion

Question

Liebe Lounge,

wer kann mit mit einer Herleitung für die Ableitung der Funktion f(x)=a^x

liefern?

Ich kenne die Regel, dass gilt: f‘(x)=ln(a) a^x

Die Frage ist, wie kann man das herleiten?

Danke Leute!

Liebe Grüße

Kombi

Answer 1

f(x) = a^x = (e^(ln(a)))^x = e^(ln(a)·x)

f'(x) = ln(a)·e^(ln(a)·x) = ln(a)·a^x

Comments

Lieber Coach,

Woher kommt denn bei f(x) nach dem letzten = das ln(a^x)??

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Sorry. Das ist unsinn. Soll nur ln(a) lauten.

Hab ich gerade verbessert.

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Für deinen Ansatz benötigt man aber ja die Eigenschaft, dass e^x abgeleitet e^x ist.

Das hatte ich aber aus f(x)=a^x und f‘(x)=ln(a) a^x hergeleitet.

Da eben gerade ln(e)=1.

Gibt es einenWeg, wie man jetzt auf die Regel kommt? Also ohne die Eigenschaft von e zu kennen? Oder ist der klassische Weg gewesen, dass man e gefunden hat, als Basis der Expknentialfunktion, die abgeleitet sich selbst ergibt und von dieser ausgehend die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion hergeleitet?

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Bei ln(a^x) ist zum Schluss das x zuviel.

richtig:

$$f(x)=a^x= e^{(ln(a)*x)}$$

$$f'(x)=ln(a)*a^x$$

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Variable am Ende muss aber x sein - oder?

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Wenn man ln(x)als das Integral von 1/x einführt und e^x als die Umkehrfunktion, dann geht es.

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Die e-Funktion wurde gerade so definiert, dass sie an jeder Stelle ein 100%-iges Wachstum hat. Also die Tangentensteigung genau dem Funktionswert an der Stelle entspricht.

lim (n → ≈) e = (1 + 1/n)^n

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@Kombinatrix

"Variable am Ende muss aber x sein - oder?"

Ja, natürlich!

@Mathecoach

"Die e-Funktion wurde gerade so definiert,... "

Das ist jetzt die Frage nach der Henne und dem Ei.

Wenn ich den ln definiere, als die Fläche unter 1/x von 1 bis x, dann ist plötzlich ln (x) zuerst da.

Answer 2

Was darf vorausgesetzt werden?

$$x=f(y)=ln(y)$$

$$dx/dy=1/y$$

$$dy/dx=y$$

$$f(x)=e^x= e^{ln(y)}=y=dy/dx$$

$$f(x)=e^x$$

$$f'(x)=e^x$$

$$f(x)= e^{(ln(a)*x)}=a^x$$

$$f'(x)=ln(a)*e^{(ln(a)*x)} =ln(a)*a^x$$

Die Herleitung geht am einfachsten über

$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{x^k/k!} =e^x$$

$$f'(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{x^k/k!} =e^x$$

Dazu muss man nur die ersten Summanden aufschreiben.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%20x%5Ek%2Fk%21%2C%20k%3D0%20to%20%2Boo

Comments

Lieber Hogar,

ich habe mich gefragt, wie man auf f‘(x)=ln(a) a^x gekommen ist.

Ist das überhaupt möglich, ohne die Eigenschaft von e^x auszunutzen?

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Wie gesagt, die Frage ist, was wird zuerst definiert. Da gibt es den Weg über e^x oder den über ln(x)

Natürlich kommt man danach auf die gleichen Rechenregeln und damit können dann auch andere Funktionen wie

g(x) = a^x abgeleitet werden.

Vermutlich gibt e auch andere Wege, doch ich bin froh, den einen oder die zwei zu kennen.

Den Weg über die Fläche von 1/x hatte ich vor 40 Jahren mal über die Logarithmentafel von Bürgi probiert, bin aber kläglich gescheitert. Die Schülerinnen und Schüler konnten nicht verstehen, dass die Menschen sich zur Zeit von Kepler das Rechnen mittels Tafeln vereinfachen konnten und haben den theoretischen Ansatz dann nicht verfolgt.

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Und der Weg über e hoch x lautet wie?

Also vor allem die Vorarbeit, wie kam man darauf, dass e^x abgeleitet e^x ist ?

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Den Weg habe ich ergänzt.

Answer 3

Hallo,

die Ableitung ist definiert als:

f'(x)= lim h → 0 f(x+h)-h/h

= lim h → 0 (a^{x+h}-a^x)/h

= a^x lim h---> 0 ( a^h -1 )/h

Interessant ist also der Grenzwert

lim h---> 0 ( a^h -1 )/h

Zur Berechnung braucht man eine Definition von a^h.