Gibt es eine Zehnerpotenz, dass wenn man die Dezimaldarstellung von z=4/7 damit multipliziert, eine ganze Zahl entsteht?

Question

Aufgabe:

Dezimaldarstellung rationaler Zahlen

Problem/Ansatz:

Multipliziert man die Darstellung von w=31/80 mit 10hoch 10, so erhält man eine natürliche Zahl.

Gibt es geeignete Zehnerpotenz derart, dass man die Dezimaldarstellung von z=4/7 damit multipliziert, ein ganzzahliges Ergebnis entsteht?

B) Von einer Rational zahlen p/q (Bruch, vollständig gekürzt) hast du nur die folgende Information. Multipliziert man sie mit 1000, so erhält man ein gannzahliges Ergebnis. Was kannst du über die Primfaktoren des Nennerd q Aussagen.

Answer 1

a) 4/7 ist periodischer Dezimalbruch. 0,\( \overline{571428} \) Es gibt keine Zehnerpotenz 10ⁿ, sodass 4/7·10ⁿ eine ganze Zahl ist.

b) Multipliziert man eine rationale Zahl  mit 1000, so erhält man nur dann ein ganzzahliges Ergebnis, wenn die Primfaktoren des Nenners 2 oder 5 sind.

Comments

Wie kommst du auf 2 oder5?

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1000 enthält nur die Primfaktoren 2 und 5, Damit sich der gesamte Nenner wegkürzt, darf er auch nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten. Wenn sich der Nenner nicht wegkürzt, erhält man keine ganze Zahl.