Aloha :)
Die Zufallsvariable \(U\) ist gleichverteilt, also ist die Wahrscheinlichkeitsdichte \(u(x)\) konstant. Da die Fläche unter eine Wahrscheinlichkeitsdichte immer auf \(1\) normiert sein muss, gilt:$$u(x)=1\quad;\quad x\in[0;1]$$Die Zufallsvariable \(V=3U-1\) ist ebenfalls gleichverteilt und die Dichtefunktion \(v(x)\) muss ebenfalls auf \(1\) normeirt sein:$$v(x)=\frac{1}{3}\quad;\quad x\in[-1;2]$$Zur Normierung der Dichtefunktion \(w(t)\) der Zufallsvariablen \(W=\sqrt U\) berechnen wir die Fläche unter der Kurve:$$\int\limits_0^1\sqrt x\,dx=\left[\frac{2}{3}x\sqrt x\right]=\frac{2}{3}$$um die Dichtefunktion formulieren zu können:$$w(x)=\frac{3}{2}\sqrt x\quad;\quad x\in[0;1]$$Außerhalb der angegebenen \(x\)-Intervalle sind die Dichte-Funktionen immer \(=0\).
Die Verteilungsfunktionen von \(U\) lautet:$$U(x)=\int\limits_0^x u(t)\,dt=\int\limits_0^x 1\,dt=\left[t\right]_0^x=x\quad;\quad x\in[0;1]$$
Die Verteilungsfunktionen von \(V\) lautet:$$V(x)=\int\limits_{-1}^x v(t)\,dt=\int\limits_{-1}^x \frac{1}{3}\,dt=\left[\frac{t}{3}\right]_{-1}^x=\frac{x}{3}+\frac{1}{3}\quad;\quad x\in[-1;2]$$
Bei der Verteilungsfunktion von \(W\) können wir das Integral von oben übernehmen:$$W(x)=\int\limits_0^xw(t)\,dt=\int\limits_0^x\frac{3}{2}\sqrt t\,dt=\left[\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}t\sqrt t\right]_0^x=x\sqrt x\quad;\quad x\in[0;1]$$
Wenn \(x\) kleiner ist als die linke Intervallgrenze ist die Verteilungsfunktion \(=0\). Wenn \(x\) größer ist als die rechte Intervallgrenze ist die Verteilungsfunktion \(=1\).
