Welche Antwortstärke hat das Neuron bei der Stimulusintensität I=I_{0}? (Grenzwerte, Ableitungen über Neuronen)

Question

Aufgabe im Bereich Grenzwerte und Ableitungen:

Die Antwortstärke f von Rezeptorneuronen in Abhängigkeit von der Stimulusintensität I entspricht häufig folgender Funktion:

\( f(I)=f_{\max } \frac{1}{1+e^{-k\left(I-I_{0}\right)}} \) mit \( f_{\max }, k, I_{0} \quad \epsilon R^{+} \)

(z.B. die Antwort eines Photorezeptors auf verschiedene Lichtintensitäten oder die Antwort eines auditorischen Rezeptors auf verschiedene Schallintensitäten).

a) Welche Antwortstärke hat das Neuron bei der Stimulusintensität I=I₀?

b) Wie antwortet der Rezeptor auf sehr kleine (I → −∞) und sehr große (I → ∞) Intensitäten?

c) Berechnung der Ableitung von f(I) an der Stelle I =I₀ und Interpretion Rolle von k.

d) Graphen der Funktion f(I) skizzieren. Die Konstanten k, f_max und I₀ kann man beliebig wählen.


Wie immer biete ich Lösungsansätze an und bitte um Korrektur, falls mir ein oder mehrere Fehler unterlaufen ist/sind. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und verbleibe



Lösungsansätze:

zu a) Die Antwortstärke des Neurons bei der Stimulusintensität I=I₀ ist gleich groß. Da keine Werte angegeben sind kann ich nur die Formel betrachten, allerdings sehe ich im Nenner eine e-Funktion. Es geht um Exponentialfunktionen. 1 dividiert durch eine "Zahl" ergibt einen kleineren Wert als 1( x<1). Somit strebt die Funktion gegen 0.

zu b)
-∞(sehr kleine Zahl): 1 dividiert durch z.B. 0,0005=2000 und
∞(sehr große Zahl): 1 dividiert durch z.B. 50000=0,00002

Also, antwortet der Rezeptor auf sehr kleine Intensitäten, die gegen -∞ streben positiv bzw. stark.
Analog: Der Rezeptor antwortet auf sehr große Intensitäten, die gegen ∞ streben negativ bzw. schwach.

zu c)
k ist ein wichtiger Indikator an einem Rezeptor, der entweder stark oder schwach reagiert. (?)

Bei Aufgabe b) könnte man, vorausgesetzt die Ansätze sind korrekt, die beiden Werte verwenden, um festzustellen wie viel Strom in den Neuronen fließt (in meV=Millielektronenvolt). (?)

Answer 1

Hallo  ,

eigentlich besteht diese Aufgabe nur aus Grenzwert- und Funktionsauswertungsbetrachtungen, ungeachtet der zunächst kompliziert anmutenden Begrifflichkeiten.

Bei a) muss durch genaues Hinschauen rauskommen \( f(I_0) = f_{max} \frac{1}{2} \).

Bei b) kommt für kleine I in der Grenze \( f(I \rightarrow -\infty) = 0 \) raus. Entsprechend für große I gilt \( f(I \rightarrow \infty ) = f_{max} \). Dieses Ergebnis kann man physikalisch deuten. Es hilft auch bei der späteren Skizzierung der Funktion (Aufgabe d)).

Bei c) musst du auch einfach nur die Ableitung bilden und erhältst k als einen Vorfaktor, der wie eine Art Sensitivität für Intensitätsänderungen gedeutet werden kann.

MfG

Mister

Comments

Hallo Mister,

vielen Dank für deine Bemühung und schnelle Antwort!

Bei a) muss also im Nenner der e-Term zu 1 werden und 1+1=2 im Nenner. Das -k(I-I₀) hat mich verwirrt.

Zu b) bei dieser Aufgabe hat -∞ die Eigenschaft "gegen 0 zu streben" und +∞ steht für das Maximum.

zu c)
Ich versuche die erste Ableitung zu bilden:

\( f(x)=\frac{1}{1+e^{-k\left(I-I_{o}\right)}} \)

\( f^{\prime}(x)=\frac{-\left(I-I_{0}\right) * e^{-k\left(I-I_{0}\right)}}{\left(e^{-k\left(I-I_{o}\right)}+1\right)^{2}} \)

Ist das korrekt?

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Ich vermute, dass die 1. Ableitung falsch ist oder? k soll eine Konstante sein. Somit darf k sich nicht verändern.

\( f(I)=\frac{1}{1+e^{-k\left(I-I_{0}\right)}} \)
\( f^{\prime}(I)=\frac{e^{-k\left(I-I_{0}\right)}}{\left(e^{-k\left(I-I_{0}\right)}+1\right)^{2}} \)

So, wie sieht es jetzt aus? :)

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Du leitest die Funktion doch nach \( I \) ab:

\( f' = \frac{df}{dI} \).

Das heißt das \( k \) sollte schon irgendwo als Vorfaktor vorkommen. Dieses \( k \) fehlt bei deiner Ableitung bis jetzt noch.

In deinem ersten Kommentar hattest du nach \( k \) abgeleitet.

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Und wie sieht es jetzt aus? :)

\( f^{\prime}(I)=\frac{k^{*} e^{-k\left(I-I_{o}\right)}}{\left(e^{-k\left(I-I_{o}\right)}+1\right)^{2}} \)

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Das sieht gut aus. Wenn du die Ableitung nun an der Stelle \( I = I_0 \) betrachtest, erhältst du

\( f'(I_0) = \frac{k}{4} \).

Die Ableitung von \( f \) an der Stelle \( I_0 \) ist also linear in \( k \). Mit anderen Worten bestimmt der Parameter \( k \) die Sensitivität für kleine Störungen an der Stelle \( I_0 \).

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Wenn ich den Graphen der Funktion zeichne kann ich für f_max den Wert 1/2 verwenden. Du hast geschrieben, dass für kleine I in der Grenze f(I→-∞)=0 sowie für große I in der Grenze f(I→∞)=f_max gilt. Wenn man das nun graphisch umsetzen möchte, beginnt man bei 0 bzw. (0|0) also vom Koordinatenursprung. Ich habe eine Skizze angefügt. Die Skizze ist nur ein Ansatz, nicht die endgültige Lösung.

\( f(I)=f_{\max } \frac{1}{1+e^{-k\left(I-I_{0}\right)}} \) mit \( f_{\max }, k, I_{0} \quad \epsilon R^{+} \)

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die Skizze geht leider nicht in die richtige Richtigung. \( y = 0 \) ist eine waagerechte Asymptote für \( I \rightarrow - \infty \) und \( y = f_{max} \) ist eine waagerechte Asymptote für \( I \rightarrow +\infty \).

An der Stelle \( I_0 \) muss die Funktion genau zwischen \( 0 \) und \( f_{max} \), also bei \( \frac{1}{2}f_{max} \) sein.

Deine Zeichnung hingegen scheint die Skizze einer quadratischen Funktion zu sein, aber du siehst ja, dass \( f \) keine quadratische Funktion ist.

MfG

Mister

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Ich habe die Asymptoten eingezeichnet. Die Funktion ist für mich noch etwas ungewohnt (I-I₀). Wenn es eine normale e-Funktion wäre, dann wäre es viel einfacher. Ich habe wieder eine Skizze angehängt, eventuell ist es diesmal ein richtiger Ansatz.

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Tja  ,

jetzt fehlt leider deine Funktion :)

Die Funktion \( f(I) \) ist eine sogenannte "logistische Funktion". Du kannst unter https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion sehen, wie eine solche Funktion verläuft.

MfG

Mister

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Von einer logistischen Funktion habe ich bis jetzt noch nie gehört. Jetzt ergibt es einen Sinn. Danke für den Link. Ich habe die Funktionen unten eingezeichnet. Faktor k*-1, k*-2, k*-3.

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Die blaue gestrichelte Linie ist nun überflüssig, da sie die Asymptote nicht beschreibt. Die Asymptote ( \( f_{max} \) ) wird von der Funktion \( f \) nicht angenommen.

Hast du nun wirklich die Funktion \(f(I) = f_{max} \frac{1}{1+\exp(-k(I - I_0))} \) geplottet?

Welche Werte hast du für \( k \), \( I_0 \) und \( f_{max} \) gewählt?

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Ich habe die Funktion versucht in Geogebra einzugeben, aber es klappt einfach nicht. Somit blieb mir nur die Möglichkeit statt (I-I₀) Zahlen einzusetzen (-1,-2,-3 usw.). Also im Nenner z.B. 1+exp^-1*k.

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Du hast also bei einer Funktion in I den Term (I - I_0) einfach durch eine Konstante ausgetauscht. Beurteile, ob das tendenziell eher schlau ist oder eher eine nicht so gute Idee.

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Natürlich nicht! Aber, wenn man sich mit einer absolut neuen Thematik auseinandersetzen muss kann man nicht gleich alles richtig machen. Es war halt ein Versuch, auch wenn es absoluter Müll war. Der Term I-I₀ bereitet mir Kopfschmerzen. Jedenfalls kann man diese Funktion nicht in einem Programm wie Geogebra eingeben, da man statt den Term Zahlen bzw. eigene Werte einsetzen muss. Egal, Danke für deine Geduld und Unterstützung und einen schönen Abend noch!



 

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Bitte. Der Term \( I - I_0 \) ist eine lineare Funktion in \( I \), wobei \( I_0 \) das Absolutglied darstellt. Man kann diesen Term auch vereinfachen, indem man \( I_0 \) einfach \( 0 \) setzt. Dann kannst du es vielleicht plotten. Beachte aber dabei, dass auch der positive Teil der \(I\)-Achse im Plot sein sollte.

Der Parameter \( I_0 \) verschiebt die Funktion nur entlang der \( I \)-Achse.

Du kannst mit dem Wissen um die ungefähre Gestalt der Funktion übrigens auch eine Skizze mit Bleistift und Papier anfertigen. Du musst ja nur bestimmte ausgewählte Punkte und das Grenzverhalten kennen (das sind die in a) bis c) ermittelten Informationen).

Je größer \( k \) ist, desto steiler ist der Anstieg bei \( I_0 \). Dies folgt aus der Formel \( f'(I_0) = \frac{k}{4} \).

MfG

Mister

PS: Ich vermute, dass deine letzte Skizze sogar richtig ist. Der Parameter \( I_0 \) ist da eben \( 0 \). Du erkennst die Natur der Funktion \( f \) aber besser, wenn du auch in den positiven \( I \)-Bereich hineingehst. Dann wird dir auch der Zusammenhang von \( k \) und \( f'(I_0) \) klar.

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Hier nochmal die Skizze mit positiven Bereich:
(grün) \( f(k)=\frac{1}{1+e^{-1 k}} \)
(gelb) \( g(k)=\frac{1}{1+e^{-2 k}} \)
(orange) \( h(k)=\frac{1}{1+e^{-3 k}} \)

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Okay, die Skizzen sind optisch richtig. Formal hast du aber Funktionen von \( I \) mit \( k = 1, 2, 3 \) gemäß

\( f_1(I) = \frac{1}{1+\exp(-1 I)} \),

\( f_2(I) = \frac{1}{1+\exp(-2 I)} \),

\( f_3(I) = \frac{1}{1+\exp(-3 I)} \).

Es scheint mir, als wäre dir dies noch nicht ganz klar.

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Jetzt, ja. Vielen Dank nochmals für deine Unterstützung! Sollte in der Klausur eine ähnliche Aufgabe sein, kann ich mir wenigstens vorstellen, wie man Schritt für Schritt zur Lösung der einzelnen Teilaufgaben kommt. Ich wünsche dir noch einen schönen Sonntag und einen guten Start in die neue Woche.