Stellen Sie die Differentialgleichung für die Änderung der Membranspannung V_{1} im ersten Neuron auf.

Question

Aufgabe (Aufstellen von Differentialgleichungen):

Zwei Neurone sind durch einen Zell-Zell-Kanal (Gap Junction) elektrisch direkt verbunden. Die Änderung der Membranspannung im ersten Neuron \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} V_{1} \) ist proportional zum Unterschied zwischen der Membranspannung \( V_{1} \) des ersten Neurons und der Membranspannung \( V_{2} \) des zweiten Neurons. Der zugehörige Proportionalitätsfaktor \( k \) ist positiv und berücksichtigt den Widerstand und die Kapazität der Membran. Für \( V_{1}>V_{2} \) nimmt \( V_{1} \) ab und für \( V_{1}<V_{2} \) nimmt \( V_{1} \) zu. Für \( V_{1}=V_{2} \) ändert sich \( V_{1} \) nicht.

Stellen Sie die Differentialgleichung für die Änderung der Membranspannung \( V_{1} \) im ersten Neuron auf.


Möglicher Ansatz:

V₁≅V2
d/dt V₁=V₁+k=V₂+k
d/dt V₁=V₁+k<V₂+k
d/dt V₁=V₁+k>V₂+k

1/(1+e^-k)

Comments

Ich werde nachher mithilfe von den anderen gelösten Differentialaufgaben Ansätze senden. Es wäre schön, wenn ihr überprüfen könntet, ob ich dann die Aufgaben richtig gelöst habe.

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Nun kommt mein Lösungsvorschlag:

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Gehen meine Lösungen in die richtige Richtung?

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Die Differentialgleichung ist doch bestimmt falsch, oder? Ich habe das Gefühl, dass irgendetwas fehlt...

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Ich habe bei Wikipedia nachgeschaut, aber finde nur diese Formeln. Muss man die e-Funktion verwenden?
Also z.B d/dt exp^{V1+k}

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Auch hier bei dieser Frage gibt es offenbar Unsicherheiten. Ich weiß nicht, was man bei dieser Frage groß angeben kann. Es ist eine Differentialgleichung d/dt V₁ angegeben. Welche Rolle spielt dabei k? Oder antwortet niemand, weil ich die Aufgabe gelöst habe. Spaß bei Seite, ich denke, dass man diese Aufgabe nicht lösen kann. Es gibt zwar bei Wikipedia einen Eintrag, aber dort sind nicht mathematische Formeln angegeben, nur die Gleichungen mit r und c. Ich habe den Graph ebenfalls von dieser Seite, weil ich vermute, dass der Graph annähernd so aussehen muss. Schade ich hätte gern einen Stern vergeben, aber ich habe höchstens nur noch eine Stunde Zeit, da ich die Aufgaben morgen abgeben muss. Es gibt  zwar keine Punkte, aber es müssen mindestens 50% richtig sein

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Abnahme V₁: V₁>V₂
Zunahme V₁: V₁<V₂
Keine Änderung: V₁=V₂

Kann man eine Verbindung zum Graphen schließen?

Dort fällt λ₁ und ist größer wie λ₂, also λ₁>λ₂

Answer 1

Hi,

ich hätte folgende Gleichung aufgestellt

dV₁/dt=k*(V₁-V₂)

Die Lösung dieser Gleichung lautet

$$ V_1(t)=Ce^{kt}+V_2 $$ wobei C sich aus den Anfangsbedinungen der Dgl. ergibt die in Deinem Fall aber nicht gegeben sind. Außerdem weiss ich nicht wie sich V₂ verhält. Ich habe angenommen das V₂ konstant ist.