Aloha :)
Wenn du eine Umkehrfunktion auf eine Funktion anwendest, neutralisieren beide ihre Wirkung gegenseitig.$$f^{-1}(\,f(x)\,)=x$$Das bedeutet z.B.$$\arcsin(\,\sin(x)\,)=x\quad;\quad\ln(\,e^x\,)=x\quad;\quad(\sqrt[3]{x})^3=x$$Im Allgemeinen gilt dies aber nur für bestimmte Intervalle von \(x\), insbesondere bei Wurzelfunktionen und periodischen Funktionen muss man hier aufpassen. Zum Beispiel liefert:$$\arccos\left(\cos\left(3\pi\right)\right)=\pi$$Man sagt, die Umkehrfunktionen liefern das sog. "Hauptwert"-Argument zurück.
Das funktioniert natürlich auch, wenn du die Reihenfolge von Umkehrfunktion und Funktion umkehrst:$$f(\,f^{-1}(x)\,)=x$$Auf unsere Beispiele von oben bezogen heißt das:$$\sin(\,\arcsin(x)\,)=x\quad;\quad e^{\ln(x)}=x\quad;\quad\sqrt[3]{x^3}=x$$
Die angegebene Gleichung beschreibt streng genommen nur, dass die Vertauschung von Funktion und Umkehrfunktion dasselbe ergibt, man müsste sie eigentlich erweitern:$$f^{-1}(\,f(x)\,)=x=f(\,f^{-1}(x)\,)$$Immer unter der Voraussetzung, dass man mit den "Hauptwerten" von \(x\) rechnet.
