Bestimmen Sie den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von t sowie die zugehörige Ortskurve.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar ft (t0). Bestimmen Sie den Scheitelpunkt in Abhängigkeit von t sowie die zugehörige Ortskurve.

d) ft(x)= -tx^2+4x

Problem/Ansatz:

Irgendwie bekomme ich kein richtiges Ergebnis bei der Bestimmung der Ortskurve.

Also zuerst habe ich versucht den Scheitelpunkt zu berechnen:

ft(x)= -tx^2+4x I: (-t)

ft(x)= x^2-(4x/t)

Quadratische Ergänzung:

ft(x)=x^2-(4x/t)+(16x^2/4t^2)-(16x^2/4t^2)

ft(x)= (x-(4x/2t)^2-(16x^2/4t^2)

 --> S (4x/2t I - (16x^2/4t^2)

Und anschließend nach t versucht umzustellen

x= 4x/2t I*2t

2tx=4x I: 2x

t=2

Aber laut dem GTR liegt der gemeinsame Punkt bei der Koordinate (0I0)

Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

ft(x)= -tx2+4x I: (-t)

ft(x)= x2-(4x/t)

Das ist schon in Zeile 2 falsch. Was da steht IST NICHT MEHR ft(x). Das ist einfach das Ergebnis, wenn man ft(x) durch (-t) teilt. Warum hast du nicht einfach die Extremstelle mit der ersten Ableitung berechnet?

-2t*x +4 muss 0 sein, das gilt für x=2/t.

Der y-Wert des Scheitelpunkts ist dann -t*(2/t)²+4*2/t= -4/t + 8/t = 4/t.

Die Scheitelpunkte der Schar haben also die Koordinaten (\( \frac{2}{t}|\frac{4}{t})  \).

Ohne große Rechnerei ist zu sehen, dass die y-Koordinate immer doppelt so groß ist wie die x-Koordinate.

Also liegen die Scheitelpunkte auf der Geraden y=2x.

Aber laut dem GTR liegt der gemeinsame Punkt bei der Koordinate (0I0)
Was habe ich falsch gemacht?

Du hast versucht, den gemeinsamen Punkte der Parabeln zu finden. Der ist aber in dieser Aufgabe NIRGENDWO gefragt.

Answer 2

Hallo

deine quadratische Ergänzung ist sehr falsch  und du kannst t ausklammern aber nicht einfach durch t teilen

-t(x^2-4/t*x+(2/t)^2-4/t^2)=-t*(x-2/t)^2+4/t

wenn du nicht sehr sicher mit quadratischer Ergänzung bist, quadriere dein Ergebnis, dann siehst du den Fehler selbst.

also S=(2/t,4/t)

anderer Weg: der Scheitel  einer Parabel liegt immer in der Mitte der 2 Nullstellen

x(-tx+4)=0 x1=0 ,  x2=4/t

also Scheitel bei  x=(0+4/t)/2 =2/t  f(2/t)=..

Gruß lul