Abbildung linear? Bestimme gegebenenfalls die zugehörige Matrix.

Question

Problem/Ansatz:
ich verstehe leider die Aufgabe nicht. Ich würde mich freuen, wenn sie mir helfen würden.

(a) \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \mapsto x_{1} x_{2} x_{3} \)
(b) \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right) \mapsto x_{1}+3 x_{2} \)
(c) \( j: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \vec{x} \mapsto \vec{x}_{\|}=\operatorname{pr}_{\vec{v}}(\vec{x}), \) wobei \( \vec{v}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\end{array}\right) \).

Answer 1

Aloha :)

a) \(f\) ist nicht linear, denn$$f(a\vec x)=a\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax_1\\ax_2\\ax_3\end{pmatrix}=ax_1ax_2ax_3=a^3x_1x_2x_3=a^3f(\vec x)\ne af(\vec x)$$b) \(g\) ist linear, denn man kann eine \(1\times2\)-Abbildungsmatrix angeben$$g(\vec x)=x_1+3x_2=\begin{pmatrix}1 & 3\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}$$c) \(j\) ist ebenfalls linear, denn hier gibt es eine \(2\times2\)-Abbildungsmatrix:$$\vec{\jmath}(\vec x)=\left[\frac{1}{\sqrt5}\binom{2}{-1}\binom{x_1}{x_2}\right]\cdot\frac{1}{\sqrt5}\binom{2}{-1}=\frac{1}{\sqrt5}(2x_1-x_2)\cdot\frac{1}{\sqrt5}\binom{2}{-1}$$$$\phantom{\vec{\jmath}(\vec x)}=\frac{2x_1-x_2}{5}\binom{2}{-1}=\frac{2}{5}\binom{2}{-1}x_1-\frac{1}{5}\binom{2}{-1}x_2=\left(\begin{array}{r}\frac{4}{5}\\[1ex]-\frac{2}{5}\end{array}\right)x_1+\left(\begin{array}{r}-\frac{2}{5}\\[1ex]\frac{1}{5}\end{array}\right)x_2$$$$\phantom{\vec{\jmath}(\vec x)}=\left(\begin{array}{rr}\frac{4}{5} & -\frac{2}{5}\\[1ex]-\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}$$