Wie ändert sich der Mittelwert, wenn zum Stichprobenumfang ein weiterer Wert von 3350 dazukommt?

Question

Hallo,

Stichprobenumfang = 100

Mittelwert = 3350

Standardabweichung = 570

a) Wie ändert sich der Mittelwert, wenn zum Stichprobenumfang ein weiterer Wert von 3350 dazukommt? Wie ändert sich die Standardabweichung qualitativ?

Answer 1

a) Wie ändert sich der Mittelwert, wenn zum Stichprobenumfang ein weiterer Wert von 3350 dazukommt? Wie ändert sich die Standardabweichung qualitativ?

Der Mittelwert ändert sich nicht und die Standardabweichung wird kleiner.

Comments

Nur zum Verständnis: bei einer qualitativen Änderung soll man also nur angeben ob der Wert kleiner oder größer wird oder gleich bleibt?

Und wenn jetzt nicht der Mittelwert hinzugefügt werden würde, sondern beispielsweise 3000, müsste ich dann so rechnen?:

(3350 * 100 + 3000) / 101

LG

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Genau. Damit bestimmt du den neuen Mittelwert. Könntest du auch sagen was mit der Standardabweichung passiert, wenn du einen Wert von 3000 hinzufügst?

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Sorry habe lange darüber nachgedacht deswegen die späte Antwort :D
Dann wird doch die Standardabweichung auch wieder kleiner, weil

3350-570 < 3000 < 3350+570

oder?

Damit die Standardabweichung größer wird, müsste der neu hinzugefügte Wert also

entweder größer als 3350+570 oder kleiner als 3350-570 sein?

LG

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Stell dir vor alle 100 Werte wären tatsächlich 3350 gewesen. Dann hatte man eine Standardabweichung von 0. Wird jetzt 3000 hinzugefügt wird die Standardabweichung größer.

Es lässt sich in dem Fall keine Angabe machen, ob die Standardabweichung großer oder kleiner wird.

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Okay danke!!

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Hallo, guten Abend :)
Ich hätte noch eine weitere Frage:

Wie könnte man die neue (kleinere) Standardabweichung ausrechnen, wenn man einen Wert von 3350 hinzufügt?

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ullim hatte dir schon die rekursive Formel dazu notiert.

Answer 2

Man kann leicht nachrechnen das für die Mittelwerte und Varianzen folgende rekuriven Formeln gelten:

$$ M_{n+1} = M_n + \frac{ x_{n+1} - M_n }{ n+1 } $$ und $$ \sigma^2_{n+1} = \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \sigma^2_n + (n+1) \left( M_{n+1} - M_n \right)^2  $$

Da der neue Wert dem alten Mittelöwert entspricht, ist der neue Mittelwert der gleiche wie der alte. Und deshalb ist die neue Varainz $$ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \sigma^2_n \approx 567.143 $$