Wie berechne ich die differenzierbarkeit im Punkt Xo

Question

Aufgabe: Stellen Sie fest, ob die folgenden Funktionen im Punkt x₀=0 differenzierbar sind:

g(x)= x^{3} für x < 0
       x^{2} für x ≥ 0

Problem/Ansatz:

Mich verwirrt der Punkt x₀=0 etwas. Ich bekomme bei x^{3} für den limes x→x₀  3x₀³ raus. Lieg ich damit richtig?

Comments

Sobald der rechts- und linksseitige Grenzwert gleich sind, kann man davon ausgehen, dass die Funktion an dem Punkt differenzierbar ist.

Für das Erste:

$$ \begin{array}{l} \lim _{x \rightarrow x_{0}} x^{3}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{3}=0^{3}=0 \\ \lim _{x \rightarrow x_{0}} x^{3}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x^{3}=0 \end{array} $$

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Bei x^2 müsste ja dann auch 0 raus kommen oder?

Answer 1

Es geht um Differenzierbarkeit und nicht um Stetigkeit. Also musst Du den Differenzenquotienten bilden und einmal den linksseitigen und dann den rechtseitigen Grenzwert berechnen. Sind bei gleich, ist die Funktion im Punkt \( x = x_0 \) differenzierbar.