f : Q×Q→Q×Q , ( x , y )↦( x2 , x−y ). wie prüft man der surjektivität oder injektivität hier?

Question

f : Q×Q→Q×Q , ( x , y )↦( x^2 , x−y ).

wie kann man überprüfen, ob diese Abbildung injektiv oder surjektiv ist.
bisher habe ich mich nur mit einfache Abbildungsformen beschäftigt ( f : Q→Q).
es wäre helfrich , wenn jemand das erklären kann oder mir einen Link empfehlen.
danke

Comments

danke aber wenn a^2=c^2 ist, muss nicht a = c sein oder?

denn es kann sein , dass a oder c negative ist

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb Q^2=\mathbb Q\times \mathbb Q\) höchstens 1-mal erreicht wird. Hier gilt allerdings:$$\binom{1}{1}\mapsto\binom{1^2}{1-1}=\binom{1}{0}\quad;\quad\binom{-1}{-1}\mapsto\binom{(-1)^2}{-1-(-1)}=\binom{1}{0}$$Das Element \((1;0)\) der Zielmenge wird also mehr als 1-mal erreicht. Die Funktion ist daher nicht injektiv.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb Q^2=\mathbb Q\times \mathbb Q\) mindestens 1-mal erreicht wird. Da hier nach Abbildungsvorschrift$$\binom{x}{y}\to\binom{x^2}{x-y}$$die erste Komponete des Bildes gleich \(x^2\) und daher immer \(\ge0\) ist, wird z.B. das Element \((-1;0)\) aus der Zielmenge nicht erreicht. Die Funktion ist daher nicht surjektiv.

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alles klar danke.

nur um sicher zu sein, wäre Die Funktion hier surjektiv?

\(\binom{x}{y}\to\binom{x}{x-y}\)

da \(\binom{x}{x-y}\) in Q ist für alle x,y in Q

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Ja, diese Funktion wäre surjektiv. Stell dir vor, wir möchten ein beliebiges Element \(\binom{a}{b}\) aus der Zielmenge erreichen, dann funktioniert das mit der Wahl \(x=a\) und \(y=a-b\), denn:$$\binom{x}{y}=\binom{a}{a-b}\mapsto\binom{a}{a-(a-b)}=\binom{a}{b}$$Es bleibt kein Element der Zielmenge "einsam" zurück, aller werden mindestens 1-mal erreicht.

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vielen dank jetzt ist es klarer geworden :)

Answer 2

Hallo,

die Injektivität ist nicht gegeben, da:

f(-1,-2)=f(1,0)=(1,1)

Comments

danke , aber wie wäre es mit surjektivität?

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Zu beweisen: Für alle \((y_1,y_2)\in \mathbb{Q}^2\) exsitiert ein \((a,b)\in \mathbb{Q}\), so dass \(f(a,b)=(a^2,a-b)=(y_1,y_2)\)?

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sorry ich habe nicht verstanden

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Ja, was machst du denn, wenn z. B. \(y_1=-1\), dann soll \(a^2=-1\) sein - geht das?

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ah jetzt verstehe ich . x^2 ist immer in N und nicht Q.

danke