Betragsungleichungen. Bsp: Ιx+y| + |x-y| ≥ |x| + |y|

Question

Wie beweise ich diese Betragsungleichungen:

(a) Für alle x,y ∈ℝ gilt: Ιx+y| + |x-y| ≥ |x| + |y|

(b) \( \frac{|x+y|}{1+|x+y|} \leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|} \)

(c) Finden Sie alle x∈ℝ, x≠2 für die \( \frac{1}{|x-2|}>\frac{1}{1+|x-1|} \)

Comments

Was genau kann man voraussetzen?

Kennst du z.B. Dreiecksungleichungen?

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Ja kenne ich, genauso wie die umgekehrte. Nur fehlt mir die Idee wie ich meine Definitionen aus der Vl kombiniere bzw. anwende.

Answer 1

zu a). Nach der Dreieckungleichung gilt
(1)  | 2x | = | x + (y - y) + x | = | (x + y) + (x - y) | ≤ | x + y | + | x - y |
(2)  | 2y | = | y + (x - x) + y | = | (y + x) + (y - x) | ≤ | y + x | + | y - x |.
Summieren liefert
| 2x | + | 2y | ≤ 2·| x + y | + 2·| x - y |.