Wie bildet man hier die 2. Ableitung?

Question

Die Funktion:

y=\( \frac{x^{2}+4}{2 x-4} \)

ist gegeben.

Die erste Ableitung habe ich bereits gebildet: \( \frac{x^{2}-4 x+4}{2 x^{2}-8 x+8}=0 \)

(Mit Quotientenregel)

Aber wie bilde ich die 2. Ableitung?

Answer 1

Die erste Ableitung habe ich bereits gebildet:

Der Zähler ist falsch. Und warum =0 ?

wie bilde ich die 2. Ableitung?

Warum nicht auch mit der Quotientenregel?

Comments

Das = 0 gehört da eigentlich nicht hin, das war ein Fehler ...

Was ist am Zähler falsch??

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Der Zähler ist nicht falsch.

Man multipliziert in der Regel den Nenner allerdings nicht aus. D.h. da würde man nicht den Faktor 2 kürzen.

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Siehe Antwort unten, es ist minus 4, nicht plus 4 im Zähler.

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Sorry. Hatte wohl Tomaten auf den Augen.

Answer 2

y = (x^2 + 4) / (2·x - 4)

y' = (2·x^2 - 8·x - 8) / (2·x - 4)^2 = (x^2 - 4·x - 4) / (2·(x - 2)^2)

y'' = 64/(2·x - 4)^3 = 8/(x - 2)^3

Der Nenner wird übrigens nie ausmultipliziert. Der Zähler wird in der Regel ausmultipliziert und zusammengefasst.

Nimm eventuell ein Tool wie Wolframalpha oder Photomath zur Hilfe oder zur Selbstkontrolle.

Answer 3

Aloha :)

Du machst es dir unnötig schwer, wenn du mit dem ursprünglichen Term arbeitest. Ich empfehle vorab eine Umformung:$$y=\frac{x^2+4}{2x-4}=\frac{x(x-2)+2x+4}{2(x-2)}=\frac{x(x-2)}{2(x-2)}+\frac{2x+4}{2(x-2)}=\frac{x}{2}+\frac{x+2}{x-2}$$$$\phantom{y}=\frac{x}{2}+\frac{x-2+4}{x-2}=\frac{x}{2}+\frac{x-2}{x-2}+\frac{4}{x-2}=\frac{x}{2}+1+\frac{4}{x-2}$$Das lässt sich nun schmerzfrei ableiten:$$y'(x)=\frac{1}{2}-\frac{4}{(x-2)^2}$$$$y''(x)=\frac{8}{(x-2)^3}$$

Comments

aber warum ist im zähler (bei der ersten Umformung) ein x (x-2) + 2x + 4 ? woher kommt denn das -2x und das 2x + 4?

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Das Ziel bei der Umformung ist es, mit dem Nenner zu kürzen. Daher habe ich aus dem \(x^2\) im Zähler ein \(x(x-2)\) gemacht. Da aber \(x(x-2)=x^2-2x\) um \(-2x\) ist, und daher kleiner ist als das vorige \(x^2\), muss ich das wieder dazu addieren. Das heißt:$$x^2=x\cdot x=x\cdot(x-2)+2x$$

Solche Umformungen sind nicht immer leicht zu erkennen, man muss sie auch nicht machen. Aber man kann sich mit ihnen sehr oft sehr viel Zeit bei den weiteren Rechnungen ersparen und die folgenden Rechnungen einfacher durchführen.