Aloha :)
Du sollst ja begründen, nicht rechnen...
Kennst du die Bedeutung des Binomialkoeffizienten?
\(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.
Wenn du z.B. aus vier Zahlen 1,2,3,4 genau eine auswählen sollst, gibt es dafür
\(\binom{4}{1}=4\) Möglichkeiten, nämlich: "1", "2", "3" und "4"
Wenn du z.B. aus vier Zahlen 1,2,3,4 genau zwei auswählen sollst, gibt es dafür
\(\binom{4}{2}=6\) Möglichkeiten, nämlich: "12", "13", "14", "23", "24" und "34"
Mit diesem Wissen, kannst du dir die Bedeutung von$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$$wie folgt erschließen:
\(\binom{n+1}{k}\) bedeutet: Du packst du zu den \(n\) Objekten ein weiteres Objekt hinzu \((n\to n+1)\) und möchtest nun genau \(k\) davon auswählen.
\(\binom{n}{k}\) bedeutet: Wenn das neue Objekt nicht ausgewählt wird, müssen von den alten \(n\) Objekten genau \(k\) ausgewählt werden. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten dafür.
\(\binom{n}{k-1}\) bedeutet: Wenn das neue Objekt ausgewählt wird, müssen von den alten \(n\) Objekten nur noch \((k-1)\) Objekte ausgewählt werden. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten dafür.
Die Summe dieser beiden Fälle gibt die Anzahl der Möglichikeiten, um aus \((n+1)\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.