Binomialkoeffizienten und begründen Sie.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4.1 (4 Punkte). Sei n ≥ 3 eine natürliche Zahl. Sei 1 ≤ k ≤
n − 1 eine natürliche  Zahl. Schreiben Sie .

 (  n )            (n)         (n+1  )

(k − 1)       + (k)       +( k+1  )

als Binomialkoeffizienten und begründen Sie.

Problem/Ansatz:

ich entschuldige mich für diese Klammern es geht hier um Binomialkoeffizient kann einer mir bitte dabei helfen

mg

Dilara :)

Answer 1

(n über k - 1) + (n über k) + (n + 1 über k + 1)

= n!/((k - 1)!·(n - k + 1)!) + n!/(k!·(n - k)!) + (n + 1)!/((k + 1)!·(n - k)!)

= (n + 2)! / ((k + 1)!·(n - k + 1)!)

= (n + 2  über k + 1)

Schaffst du das jetzt zu begründen?

Comments

Leider nicht mache das Thema zum ersten Mal hab kein Plan n

Answer 2

Hallo Dilara,

Du weißt sicher, dass $${a \choose b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}$$ist. Wenn man dies für jeden der drei Summanden einsetzt, so kann man einiges zusammen fassen und kommt am Ende wieder auf einen Binomialkoeffizienten. Ist aber eine ziemliche Rechnerei und daher habe ich das unten an diese Antwort angehängt.

Vielleicht kennst Du aber auch das Pascalsche Dreieck. Jedes Element im Pascalschen Dreieck kann als Binomialkoeffizient geschreiben werden. Weiter gilt dort die Regel, dass jedes Element, welches nicht am Rand steht (dort stehen die 1'en) die Summe aus beiden Vorgängern ist.

Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung $${n \choose k-1} + {n \choose k } = {n+1 \choose k}$$beschrieben. Und dies sind genau die ersten beiden Terme in der gegebenen Summe. Also ist $$\begin{aligned} & \phantom ={ n\choose k-1} + { n\choose k} + { n+1\choose k+1} \\&= {n+1 \choose k} + { n+1\choose k+1} \end{aligned}$$Ist schon mal einer weniger. Und wieder sind die beiden Zahlen \(n+1\) oben die gleichen und die unteren unterscheiden sich um 1. Also gilt doch genauso:$$\begin{aligned} &\phantom = {n+1 \choose k} + { n+1\choose k+1} \\ &= { n+2\choose k+1} \end{aligned}$$und das ist schon die Lösung.

Bildlich sieht das so aus:

die blau markierten Elemente sind die drei gegebenen Summanden. Die ersten beiden befinden sich in der \(n\)'ten Reihe und in der \((k-1)\)'ten und \(k\)'ten Stelle. Addiert man beide, so erhält man das grün markierte Element. Addiert man dieses wiederum mit dem Element in der \((n+1)\)'ten Reihe an \((k+1)\)'ter Stelle, dann kommt man zum roten.

Und dies steht in der \((n+2)\)'ten Reihe an \((k+1)\)'ter Stelle.

Und der Holzweg sähe so aus: $$\begin{aligned} & \phantom ={ n\choose k-1} + { n\choose k} + { n+1\choose k+1} \\ &= \frac{n!}{(k-1)! (n-k+1)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{(n+1)!}{(k+1)! (n-k)!} \\ &= \frac{n!k(k+1) + n!(k+1)(n-k+1) + (n+1)!(n-k+1)}{(k+1)! (n-k+1)!} \\ &= \frac{n!(k^2 + k +nk - k^2 + k + n-k+1 + n^2 -nk + n + n - k +1)}{(k+1)! (n-k+1)!} \\ &= \frac{n!( n^2 + 3n +2)}{(k+1)! (n-k+1)!} \\ &= \frac{n!( n+1)(n+2)}{(k+1)! (n-k+1)!} \\ &= \frac{(n+2)!}{(k+1)! ((n+2)-(k+1))!} \\&= {n+2 \choose k+1} \end{aligned}$$

Answer 3

Aloha :)

Du sollst ja begründen, nicht rechnen...

Kennst du die Bedeutung des Binomialkoeffizienten?

\(\binom{n}{k}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.

Wenn du z.B. aus vier Zahlen 1,2,3,4 genau eine auswählen sollst, gibt es dafür

\(\binom{4}{1}=4\) Möglichkeiten, nämlich: "1", "2", "3" und "4"

Wenn du z.B. aus vier Zahlen 1,2,3,4 genau zwei auswählen sollst, gibt es dafür

\(\binom{4}{2}=6\) Möglichkeiten, nämlich: "12", "13", "14", "23", "24" und "34"

Mit diesem Wissen, kannst du dir die Bedeutung von$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$$wie folgt erschließen:

\(\binom{n+1}{k}\) bedeutet: Du packst du zu den \(n\) Objekten ein weiteres Objekt hinzu \((n\to n+1)\) und möchtest nun genau \(k\) davon auswählen.

\(\binom{n}{k}\) bedeutet: Wenn das neue Objekt nicht ausgewählt wird, müssen von den alten \(n\) Objekten genau \(k\) ausgewählt werden. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten dafür.

\(\binom{n}{k-1}\) bedeutet: Wenn das neue Objekt ausgewählt wird, müssen von den alten \(n\) Objekten nur noch \((k-1)\) Objekte ausgewählt werden. Das ist die Anzahl der Möglichkeiten dafür.

Die Summe dieser beiden Fälle gibt die Anzahl der Möglichikeiten, um aus \((n+1)\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.