Grenzwert berechnen von Folge

Question

Aufgabe:

a_n+1=\( \sqrt{1+an} \)

Von \( \sqrt{1+an} \) soll der grenzwert berechnet werden. (a1=\( \sqrt{1} \) =1
Problem/Ansatz:

Ich habe ein wenig herumprobiert und kam dann auf ca. 1,618. Die frage ist nur, wie bestimmt man das durch den grenzwert? Ich habe es durch abschätzen versucht, es kam aber nichts vernünftiges dabei raus...

Comments

Das soll vermutlich eine rekursiv definierte Folge sein. Dann fehlt aber noch was.

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Ist ergänzt, wenn es das ist was du meinst

Answer 1

Man würde das rekursiv so schreiben: \(a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\) mit \(a_1=1\).

Pseudomathematische Antwort unter Voraussetzung der Konvergenz:

Setze \(S=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}} \), dann gilt \(S=\sqrt{1+S} \Rightarrow S^2-S-1=0\) und damit \(S=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\) der "goldene Schnitt".

Streng mathematisch:

Du müsstest von \(a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\) mit \(a_1=1\) die Beschränktheit und Monotonie nachweisen. Insgesamt folgt daraus die Konvergenz. Dann kannst so wie oben arbeiten.

Comments

Gibt es da eventuell eine andere Lösung? Da wir noch nicht in den vorlesungen nullstellenberechnungen hatten dürfen wir die halt auch nicht nutzen (den goldenen schnitt auch nicht)

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Gibt es da eventuell eine andere Lösung?

Ja, die untere. Du nimmst dann, ausgehend von der Konvergenz einen Fixpunkt, da bei Konvergenz:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}$$ gilt. Also der Grenzwert \(a\) die Gleichung \(a=\sqrt{1+a}\) erfüllt.

Da wir noch nicht in den vorlesungen nullstellenberechnungen hatten dürfen wir die halt auch nicht nutzen (den goldenen schnitt auch nicht)

Ihr dürft keine Gleichungen lösen?

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Eben schon, nur verstehe ich nicht, wie ich auf das gleiche ergebnis (goldener schnitt) komme indem ich zeige ob die folge beschränkt bzw. monoton ist

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Damit zeigst du einfach nur die Konvergenz. Diese ist notwendig für den Ansatz oben. Denn du kannst a priori gar nicht sagen, dass diese Folge überhaupt einen endlichen Wert annimmt.

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Mit welchen verfahren genau hast du S^2-S-1=0 gezeigt? Ich darf leider noch keine pq formel oder die quadratische ergänzung verwenden

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Quadratische Ergänzung kann nicht verboten sein.

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Wenn du das sagst : D