Grenzwert und Limes für x gegen unendlich: Wieso gilt diese Gleichheit?

Question

Aufgabe: Wieso gilt diese Gleichheit?

$$ \prod \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1-x^{2k}}{1-x^k} = \prod \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{2k-1}} $$

Problem/Ansatz:

Ich möchte die obige Gleichheit zeigen. Versucht habe ich es mit binomischer Umformung, Brucherweiterung und Substitution, bin leider damit nicht so weit gekommen.

Jede HIlfe ist willkommen :)

Comments

Folgende heuristische Methode muss noch mathematisch begründet und sauber ausformuliert werden :

Links steht das Produkt (1+x)*(1+x^2)*(1+x^3)*(1+x^4)*...

Recht steht das Produkt 1/(1-x)*1/(1-x^3)*1/(1-x^5)*1/(1-x^7)* ...

Multipliziere den ersten Nenner nach links und fasse zusammen (begründen!) :
(1-x)*(1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)*(1+x^8)*(1+x^16) *...
=  (1-x^2)*(1+x^2)*(1+x^4)*(1+x^8)*(1+x^16) *...
=  (1-x^4)*(1+x^4)*(1+x^8)*(1+x^16) *...
=  (1-x^8)*(1+x^8)*(1+x^16) *...
=  (1-x^16)*(1+x^16) * ... konvergiert für |x|<1 gegen 1

Multipliziere den zweiten Nenner nach links und fasse zusammen (begründen!) :
(1-x^3)*(1+x^3)*(1+x^6)*(1+x^12)*(1+x^24) * ...
=  (1-x^6)*(1+x^6)*(1+x^12)*(1+x^24) * ...
=  (1-x^12)*(1+x^12)*(1+x^24) * ...
=  (1-x^24)*(1+x^24) * ...  konvergiert für |x|<1 gegen 1

Multipliziere den dritten Nenner nach links und fasse zusammen (begründen!) :
(1-x^5)*(1+x^5)*(1+x^10)*(1+x^20)*(1+x^40) * ...
=  (1-x^10)*(1+x^10)*(1+x^20)*(1+x^40) * ...
=  (1-x^20)*(1+x^20)*(1+x^40) * ...   konvergiert für |x|<1 gegen 1

...

Zeige, dass es aufgeht

Zeige, dass Grenzwert des unendlichen Produktes = unendliches Produkt der Grenzwerte ist

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@lu

1. Wo siehst du den Unterschied zwischen Grenzwert und Limes, dass du da zwei Aufgaben draus machst ?

2. Welche Eingebung hat dich geritten, " x→∞ " hinzuschreiben ?

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Text erkannt:

\( \prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1-x^{2 k}}{1-x^{k}}=\frac{\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{6}\right)\left(1-x^{8}\right)(\ldots)}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{3}\right)\left(1-x^{4}\right)(\ldots)} \)
\( =\frac{\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{6}\right)\left(1-x^{8}\right)(\ldots)}{\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{6}\right)\left(1-x^{8}\right)(\ldots)} *\left(\frac{1}{\left(1-x^{1}\right)\left(1-x^{3}\right)\left(1-x^{5}\right)\left(1-x^{7}\right)(\ldots)}\right) \)
\( =\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1-x^{2} k-1} \)

Ich hab mal ne Nacht darüber geschlafen und einfach nochmal "simpel" nachgedacht... Und hier ist meine Lösung, die einfachsten Aufgaben sind halt immer die schwersten :'D

Answer 1

Hi.

Das rechte Produkt hat im Nenner nur x mit ungeraden Potenzen. Für die Gleichheit kannst du das rechte Produkt um Faktoren (1-x^2k) mit geraden Potenzen erweitern. Die Umformung geschieht wie folgt:

$$ \begin{array}{rcl} \prod\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{1-x^{2k-1}} & = & \dfrac{1}{1-x} \cdot \dfrac{1}{1-x^3} \cdot \dfrac{1}{1-x^5} \cdot \dfrac{1}{1-x^7} \dots\\\\ & = & \dfrac{1}{1-x} \cdot \biggl(\dfrac{1-x^2}{1-x^2}\biggr) \cdot \dfrac{1}{1-x^3} \cdot \biggl(\dfrac{1-x^4}{1-x^4}\biggr) \cdot \dfrac{1}{1-x^5} \cdot \biggl(\dfrac{1-x^6}{1-x^6}\biggr) \cdot \dfrac{1}{1-x^7} \cdot \biggl(\dfrac{1-x^8}{1-x^8}\biggr) \dots\\\\ & = & \dfrac{(1-x^2)\cdot(1-x^4)\cdot(1-x^6)\cdot(1-x^8)\cdot\dots}{(1-x)\cdot (1-x^2)\cdot (1-x^3)\cdot (1-x^4)\cdot (1-x^5)\cdot (1-x^6)\cdot (1-x^7)\cdot (1-x^8)\cdot\dots}\\\\ & = & \prod\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1-x^{2k}}{1-x^{k}} \end{array} $$

Comments

Ich konnte es doch von alleine lösen, aber danke!