Beweise von abzählbaren mengen

Question

Aufgabe:

a) Beweisen Sie, dass die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ebenfalls abzählbar ist.

b) Seien k∈N und M₁, ..., M_k abzählbare Mengen. Beweisen Sie, dass auch M₁×M₂×...×M_k={(m₁, m₂, ..., m_k);m_i ∈ M_i für

1 ≤ i ≤ k} abzählbar ist. [Hinweis: Beweisen Sie die Aussage zu nächst für den Fall k= 2.]

(c) Beweisen Sie, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von N abzählbar ist.

Problem/Ansatz:

Hallo kann mir jemand mit den beweisen dieser 3 aufgabenteile helfen.

Answer 1

a) Sei M_i = {m_ij | j ∈ ℕ} für jedes i ∈ ℕ eine abzählbare Menge. Die m_ij können wie folgt in eine Tabelle mit abzählbar vielen Spalten und abzählbar vielen Zeilen eingetragen werden.

Mi \ j	1	2	3	4	\(\dots\)
M1	m11	m12	m13	m14	\(\dots\)
M2	m21	m22	m23	\(\dots\)	\(\dots\)
M3	m31	m32	\(\ddots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
M4	m41	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\dots\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)

Die Elemente von ∪_i∈ℕ M_i können jetzt mit Cantors erstem Diagonalargument abgezählt werden (siehe Beweis ℚ ist abzählbar).

b) und c) werden ebenso bewiesen, d.h. indem du einen Weg findest, die Element in eine Tabelle mit abzählbar vielen Spalten und abzählbar vielen Zeilen einzutragen.