Prüfen, ob eine Matrix invertierbar ist: M = {(1,a,1)(1,0,1)(0,1,1)}

Question

Aufgabe:

Für welche \( \alpha \in \mathbb{R} \) ist die Matrix

$$ M_{2}=\left(\begin{array}{lll} {1} & {\alpha} & {1} \\ {1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right) $$

invertierbar? Begründen Sie ihre Antworten!

Kann mir jemand das Schritt für Schritt vorrechnen und erklären? Ich verstehe Invertierbarkeit und Einheitsmatrix nicht.

Answer 1

Hi,

Du musst nur schauen, dass die Zeilenvektoren linear unabhängig sind.

Das ist für α = 0 der Fall. Dann entspricht die erste Zeile der zweiten.

Für den Rest passt die Sache, wie man schnell sieht α ∈ ℝ\{0}.


Alternativ (wenn mans nicht so schnell sieht) kann man das auch mit der Determinante machen.

Grüße

Comments

wie geht das mit der determinante (ich glaub das hatten wir noch nicht..)

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Wenn ihr das mit der Determinante noch nicht hattet, dann vergiss den Teil ;). Wenn das eine Schulaufgabe ist, kommt das glaube ich eh nicht dran.

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Für die Determinante (falls Interesse) schau mal hier rein:

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus


Das besondere ist, dass wenn die Determinante 0 ist, dann ist das ganze linear abhängig. Du musst also letztlich dafür sorgen, dass Du α so wählst, dass das 0 wird (ums dann auszuschließen).

Zur Kontrolle:

1 - (α+1) = 0

1 - α - 1 = 0

-α = 0

α = 0

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Ah ok. Dann siehe meinen Link. Sarrus sollte dann bekannt sein?!

Wenn nicht...dann ist das schnell angeschaut. Lösungsskizze habe ich ja auch beigelegt ;).

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hmm ich steh grad aufm schlauch, die Zeilenvektoren sind doch hier (1 α 1), (1 0 1), und (0,1,1) für alpha=0 sind doch dererste und der 2. dieselben oderbin ich da falsch?

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Das ist völlig richtig. Und das ist genau das was wir nicht wollen. Deswegen darf man für α wählen was man will...nur nicht α = 0.

Das sieht man hier schnell...und dass nicht mehr geht, sieht man ebenfalls schnell.


Alternativ eben den Weg über die Diskriminante gehen ;).


Klar?

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:D danke, wie könnte ich sowas errechnen außer mit der determinanten? das ist nur eine probeaufgabe aber ich bin mir unsicher wie ichs sonst errechnen würde.

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Außer den beiden Möglichkeiten? Da fällt mir nix mehr ein.

In der Uni ist aber sicher der Weg über die Determinante verlangt. Hast Du diesen nun verstanden? Hast ja gesehen wie schnell das geht :).

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nicht so ganz also ich hab jetzt so angefangen:


1*0*1+α*1*0+1*1*1-0*0*1-1*1*1-1*1*α und dann ?

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Das ist richtig.

Nun erinnere Dich an meine Worte, dass lineare Abhängigkeit besteht, wenn det A = 0.

Nimm also den Ausdruck von Dir (das ist ja det A) und setze ihn 0.


1*0*1+α*1*0+1*1*1-0*0*1-1*1*1-1*1*α = 0

1 - 1 - α = 0

-α = 0

α = 0


Du hast also nun herausgefunden, dass die Determinante für α = 0 auch Null ist. D.h. für α = 0 haben wir lineare Abhängigkeit. Die wollen wir aber gar nicht, weswegen daraus folgt α ∈ ℝ\{0} ;).

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ach so einfach? krass, dankeschön :) Du bist ein Mathegenie!!!

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Ja, so einfach. Da brauchts kein Genie zu sein...schön wärs :D.

Gerne ;).

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hmm... also mit α=0 ist die Determinante 0. => sie ist linear abhängig => sie ist invertierbar?

Ich dachte es wäre genau so, dass wenn die detA ≠ 0 ist sie invertierbar ist?

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Da haste nicht genau gelesen.

hmm... also mit α=0 ist die Determinante 0. => sie ist linear abhängig => sie ist nicht invertierbar?

Also genau so wie Du denkst ;).