Variable in Funktion anhand von Punkt bestimmen

Question

Diese Aufgabe ist Teil eines Mathe Vorbereitungskurses

1. Eine Verbrauchsfunktion \( C(y) \) als Funktion des Gehalts \( y \) sei gegeben durch
\( C(y)=500 \cdot\left(1-e^{-b y}\right) \)
wobei \( b>0 \) und \( y \geq 0 . \) Bestimmen Sie \( b, \) sodass der Punkt (4,350) ein Punkt auf dem Graphen ist.
(b) Es sei \( C:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, y \mapsto 1000 \cdot\left(1-e^{-\frac{1}{2} y}\right) \)
i. Bestimmen Sie die erste Ableitung von \( C \) und schließen Sie daraus, dass C umkehrbar ist.
ii. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Umkehrfunktion von \( C \).
iii. Bestimmen Sie die Vorschrift der Umkehrfunktion von \( C \).

Problem/Ansatz: Ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgaben (bis auf die 1b (i) die Ableitung habe ich bereits errechnet) herangehen soll, bzw. wie man das berechnet. Ich habe versucht mir alles zu ergooglen, aber bin bis jetzt nicht wirklich erfolglreich gewesen.

Ich freue mich über jeglichen Ratschlag,

LG Max

Answer 1

II. Der Definitionsbereich der Umkehrfkt. entspricht dem Wertebereich von C(y).

III: Umstellen nach y:

C(y)= z

z/1000-1 = -e^(-0,5y)

e^(-0,5y)= 1- z/1000

-0,5y = ln(1-z/1000)

y= ln(1-z/1000)*(-2)

vertauschen;

C^-1(y)= ln(1-y/1000)*(-2)