Wie leite ich die Stammfunktion H(t) ab, um zu zeigen dass H(t) eine Stammfunktion von h ist?

Question

Aufgabe:

Zeige dass H(t) eine Stammfunktion von h ist.

mir wurde die Aufgabe gegeben, zu zeigen, dass H(t) = 100 • e^(-0,05t²+0,6t-1,75) eine Stammfunktion von h(t) = 10 • (6-t) • e^(-0,05t²+0,6t-1,75) ist. Ich weiß dass H'(t) = h(t) ist und dass ich entweder H ableiten, oder h aufleiten muss und ich habe es ausprobiert, jedoch bekomme ich das nicht hin. Ich habe keine richtigen Ansätze und das macht mich verrückt.

Es wäre super lieb wenn mir jemand helfen könnte.

Vielen Dank im Voraus,

Jassy

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft uns beim Ableiten die Kettenregel weiter:$$H'(t)=\left(100\cdot e^{-0,05t^2+0,6t-1,75}\right)'=\underbrace{100\cdot e^{-0,05t^2+0,6t-1,75}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{\left(-0,05t^2+0,6t-1,75\right)'}_{=\text{innere Ableitung}}$$Die innere Ableitung ist einfach die Ableitung des Polynoms aus dem Exponenten der Exponentialfunktion:$$H'(t)=100\,e^{-0,05t^2+0,6t-1,75}\,\left(-0,1t+0,6t\right)=10\cdot10\,\left(-0,1t+0,6t\right)e^{-0,05t^2+0,6t-1,75}$$$$\phantom{H'(x)}=10\cdot(6-t)\cdot e^{-0,05t^2+0,6t-1,75}=h(t)\quad\checkmark$$

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Vielen lieben Dank, das hat mir sehr weiter geholfen :-)

Answer 2

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( e^term ) ´ = e^term * ( term ´ )

H(t) = 100 • e^(-0,05t²+0,6t-1,75)

term -0,05 * t^2 + 0,6 * t - 1.75
term ´ = -0.05 * 2 * t + 0.6
term ´ = -0.1 * t + 0.6

[ e^(-0,05t²+0,6t-1,75) ] * [ -0.1 * t + 0.6 ]

noch mal 100

10 * e^(-0,05t²+0,6t-1,75) * ( 6 - t ) = h ( t )

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Vielen Dank für die Antwort, jetzt verstehe ich es ein bisschen besser :-)