Aloha :)
$$f(x)=x^5-x^4$$$$f'(x)=5x^4-4x^3=5x^3\left(x-\frac{4}{5}\right)$$$$f''(x)=20x^3-12x^2$$$$f'''(x)=60x^2-24x$$$$f''''(x)=120x-24$$
Die Kandidaten für Extermwerte liegen dort, wo die erste Ableitung gleich \(0\) wird. Auf Grund der Faktorisierung erkennen wir zwei Kandidaten:$$x_1=0\quad;\quad x_2=\frac{4}{5}$$
Prüfung auf Vorzeichen-Wechsel
Bei \(x=0\) wechselt der Faktor \(5x^3\) sein Vorzeichen von Minus zu Plus. Allerdings ist nahe \(x=0\) der zweite Faktor \(\left(x-\frac{4}{5}\right)\) negativ. Dadurch erfährt \(f'(x)\) als Ganzes bei \(x=0\) einen Vorzeichenwechse von Plus nach Minus. Vor \(x=0\) steigt \(f(x)\) also an, hinter \(x=0\) fällt \(f(x)\) wieder ab. Bei \(x=0\) liegt daher ein Maximum vor.
Bei \(x=\frac{4}{5}\) ist der Faktor \(x^3\) positiv, der Faktor \(\left(x-\frac{4}{5}\right)\) hingegen wechselt sein Vorzeichen von Minus nach Plus. Dadurch erfährt \(f'(x)\) als Ganzes bei \(x=\frac{4}{5}\) einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Vor \(x=\frac{4}{5}\) fällt \(f(x)\) also ab, hinter \(x=\frac{4}{5}\) steigt \(f(x)\) wieder an. Bei \(x=\frac{4}{5}\) liegt daher ein Minimum vor.
Prüfung der zweiten bzw. geraden Ableitung
Wenn die erste nicht-verschwindende Ableitung gerade ist, liegt ein Extremum vor. Bei \(x=0\) haben wir das Pech, dass die 2-te Ableitung null ist. Daher gibt sie keine Auskunft, ob ein Extremum vorliegt oder nicht. Auch die 3-te Ableitung \(f'''(0)\) ist noch null. Erst die 4-te \(f''''(0)=-24<0\) ist ungleich null. Das heißt, eine gerade Ableitung ist negativ, woraus folgt, dass an der Stelle \(x=0\) ein Maximum vorliegt.
Für \(x=\frac{4}{5}\) wird bereits die 2-te Ableitung ungleich null, denn \(f''(0,8)=2,56>0\). Das ist ein gerade Ableitung, sie ist positiv, sodass bei \(x=\frac{4}{5}\) ein Minimum vorliegt.
~plot~ x^5-x^4 ; [[-1|1,5|-0,1|0,02]] ~plot~
