Erwartungswert für die Dauer einer Städtereise, die mit würfeln bestimmt wird.

Question

Hallo Mathefreunde,

könnte bitte jemand überprüfen, ob meine Rechnung korrekt ist?

Aufgabenstellung:

Die Augenzahl eines normalen Laplace-Würfels im 0. Wurf steht für eine Stadt (z.B. 1 = Berlin, 2 = München etc.)

Dann wird (mehrmals) erneut gewürfelt; sobald eine Zahl geworfen wird, die schon einmal geworfen wurde (inklusive der Städtewahl), ist das Spiel beendet. Die Anzahl dieser Würfe 1 bis maximal 6 steht dann für die Länge des Besuchs dieser Stadt.

Was ist der Erwartungswert für die Länge des Besuchs?

Meine Rechnung:

P("Treffer" im 1. Wurf) = 1/6

P("Treffer" erst im 2. Wurf) = 5/6 * 2/6

P("Treffer" erst im 3. Wurf) = 5/6 * 4/6 * 3/6

P("Treffer" erst im 4. Wurf) = 5/6 * 4/6 * 3/6 * 4/6

P("Treffer" erst im 5. Wurf) = 5/6 * 4/6 * 3/6 * 2/6 * 5/6

P("Treffer" erst im 6. Wurf) = 5/6 * 4/6 * 3/6 * 2/6 * 1/6 * 6/6

Daraus folgt ein Erwartungswert von

1/6 * 1 +

10/36 * 2 +

60/216 * 3 +

240/1296 * 4 +

600/7776 * 5 +

720/46656 * 6

≈

2,77

 !

Comments

P für Treffer im 2. Wurf nicht korrekt. -> Baumdiagramm hilft ...

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@Anonym:

Danke für den Hinweis, aber wo liegt hier der Fehler?

Angenommen, im 0. Wurf wird "1" für Berlin gewürfelt.

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, im 1. Wurf wieder eine "1" zu würfeln, offensichtlich 1/6.

Also ist die Wahrscheinlichkeit, im 1. Wurf keine "1" zu würfeln, 1 - 1/6 = 5/6.

Nehmen wir an, im 1. Wurf wurde eine "2" gewürfelt.

Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, im 2. Wurf eine "1" oder "2" zu würfeln:

5/6 (W., dass im 1. Wurf nicht getroffen wurde) * 2/6 (W. eine "1" oder "2" zu würfeln) =

10/36

Was hast Du denn für eine Wahrscheinlichkeit errechnet?

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Verständnisfrage:

Du rechnest mit einem Nullten Wurf, damit die Wurfzahl dann automatisch der Zahl der Urlaubstage entspricht?

1 Tag dort. Was ist denn mit der Reise?

Ich finde keinen Fehler, hatte aber mE unnötig lang zu verstehen, was du genau meinst.

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Um einen Treffer erst im zweiten Wurf zu erzielen, muss man im ersten Wurf eine "Niete" werfen, also eine andere als die zugrunde liegende Zahl. Die Wahrscheinlichkeit dafür aber beträgt 5 / 6. Also  beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer erst im zweiten Wurf ( 5 / 6 ) * ( 1 / 6 ) , da liegt Brucybabe völlig richtig.

Answer 1

Ich habe den letzten Teil (Berechnung des Erwartungswertes) jetzt nicht nachgerechnet, da ich davon ausgehe, dass du einen Taschenrechner bedienen kannst. Die Wahrscheinlichkeiten hast du mE jedenfalls korrekt bestimmt. Ich denke daher, dass dein Ergebnis korrekt ist.