Zeigen Sie, dass für z ∈ ℂdie Eigenschaft |z| ≤ 1 genau dann gilt, wenn |z-c| ≤ |1-c-quer•z|

Question

Aufgabe:

Sei c ∈ ℂmit|c| < 1. Zeigen Sie, dass für z ∈ ℂdie Eigenschaft |z| ≤ 1 genau dann gilt, wenn |z-c| ≤ |1-c-quer•z|

Answer 1

Ich habe z:= x + i y  und  c:= u + i v  gesetzt  und  L:= |z - c|  sowie  R:= |1- c^- · z| .

Dann folgte eine etwas langwierige Rechnung mit den sich ergebenden vielgliedrigen Termen.

Anstelle der Ungleichung  L ≤ R  kann man dann die Ungleichung  L² ≤ R²  betrachten, was uns von den Wurzeltermen befreit. Wie durch "Zauberei" verabschieden sich aus der langen Ungleichungszeile viele Teilterme, und man kommt dann zur noch verbleibenden Ungleichung

|z|² + |c|² ≤ 1 + |z|² |c|²

Mit Q:= |z|²  und  R:= |c|²  lautet diese Ungleichung  Q + R ≤ 1 + Q · R  bzw.  Q · (1-R) ≤ 1-R .

Wegen der Voraussetzung |c| < 1  ist 1-R positiv, und man darf also die letzte Ungleichung durch (1-R) dividieren und kommt so zum Ergebnis  Q ≤ 1 . Weil wir durchgehend Äquivalenzumformungen betrachtet haben, ist also die Ungleichung  L ≤ R , von der wir ausgegangen sind, äquivalent zu Q ≤ 1 bzw. |z|² ≤ 1 , was weiter gleichbedeutend ist mit  |z| ≤ 1 , Q.E.D.

Comments

Also bei der obigen Ungleichung habe ich

Betrachte L^2≤R^2

|z-c|^2≤|1-c-quer•z|^2

|(x+iy)-(u+iv)|^2 ≤ |1-(u-iv) (x+iy)|^2

....

|(x+iy)+(u+iv)|^2 ≤ 1+|(u+iv) (x+iy)|^2

|(x+iy)|^2 + |(u+iv)|^2 ≤ 1+ |(u+iv)|^2 |(x+iy)|^2

|z|^2 +|c|^2 ≤ |z|^2 |c|^2

Verstehe aber die zwischenschritte zwischen den Punkten nicht. Habe also nicht ganz verstanden wie ich die Ungleichung lösen kann.

LG

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Na, da heißt es halt beharrlich ausmultiplizieren, Real- und Imaginärteile separieren etc.

Ich habe dabei etwa ein A4-Blatt mit vielen Zeilen voll geschrieben, was ich aber hier nicht nachvollziehen möchte. Es haben sich aber, wie beschrieben, sehr viele Teilterme aus der Rechnung herausgehoben.

Ich frage mich noch, ob es nicht vielleicht einen eleganten geometrischen Beweis (in der Gauß-Ebene) geben könnte.

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Könntest du kein Foto schicken?:))

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Naja, so gaaanz ausnahmsweise mache ich das mal: