DGl. mittels Laplace Transformation (Reihenschwingkreis RLC)

Question

Aufgabe:

Folgendes gilt mittels Partialbruchzerlegung zurück zu transformieren:

$$U_a(s) = \frac{U_1(s)}{L C} \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s^2 + \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C}}$$

$$R = 1 \Omega $$ $$L = 1 \mu H$$ $$C = 1 \mu F$$
Problem/Ansatz:

Ich kam jetzt darauf, da mittels quadratischer Ergänzung ran zu gehen. Jedoch bin ich auch danach nicht weiter gekommen.

Also:

$$U_a(s) = \frac{U_1}{LC} \cdot \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{(s + \frac{R}{2L})^2 + \frac{1}{LC} - \frac{R}{2L}}$$

Answer 1

Hallo,

\( \frac{1}{s\left(s^{2}+\frac{R}{L} s+\frac{1}{L C}\right)} \) =\( \frac{A}{s} \) +\( \frac{Bs+C}{s^2+(R/L) s+ (1/(LC))} \)

Comments

Ich komme da auf:

$$U_a(s) = U_1(s) \cdot (\frac{1}{s} + \frac{s}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}})$$

$$\frac{1}{s}$$ ist ja die Heaviside Funktion.

Was würde denn $$\frac{s}{s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC}}$$ ergeben ?

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Hallo,

schau in einer Tabelle nach. Dort findest Du die Rücktrafo für \(\frac{a}{s^2+a^2}\). Verwende noch einen der Verschiebungssätze - oder wie immer Ihr das genannt habt.

Gruß

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Ich habe jetzt mal folgendes gemacht:

$$U_a(s) = U_1 \cdot (\frac{1}{s} + \frac{s}{(s - s_1)(s - s_2)})$$ mit $$s_1, s_2 \in \mathbb{C}$$ s1 und s2 hatte ich da schon mittels PQ-Formel bestimmt.

Ist das soweit richtig ?

Wie verwende ich hierbei den Verschiebungssatz ?

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Hallo,

mit Deinen Zahlen sehe ich den Nenner: \(s^2+s+1=(s+0.5)^2+0.75\)

Dann benutzt Du die Rücktrafo für \(\frac{s}{s^2+\sqrt{0.75}^2}\) - da hatte ich mich oben verschrieben (a statt s). Um noch die 0.5 zu berücksichtigen benutze die Regel

$$\exp(-qt)f(t) \mapsto F(s+q)$$

Die weitere Zerlegung mit komplexen Nullstellen ist eine Alternative.

Gruß