Wie geht bei dieser Aufgabe Orthogonalität?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien drei Vektoren in gerade ℝ⁴ : die Vektoren a₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ,
a₂ = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \)  a₃ = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \)
Ergänzen Sie dieses System der Vektoren um einen Vektor a₄, der die erste Komponente 1 hat und zu den Vektoren a₁ , a₂ und a₃ orthogonal ist.

Problem:

Man muss Komponente dieses Vektors angeben..

Komponent x₁ = 1 (wurde schon angegeben)

Man muss die Komponente von x₂ , x₃ , x₄ rausbekommen, wie bekommt man das raus ?

Bitte hilfe.. für Matheklausur :(

Answer 1

a4 = [1, b, c, d]

Nun muss das Skalarprodukt mit den vorgegebenen Vektoren immer 0 sein. Daraus ergibt sich

a4 = [1, -1, -1, 1]