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Aufgabe:

Sei (an)n∈N eine Folge reeller Zahlen mit an < 2 und an+1(2 − an) > 1 für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass
(an)n∈N konvergent mit Grenzwert 1 ist.


Problem/Ansatz:

Da hier keine Folge gegeben ist, sondern lediglich zwei Eigenschaften der Folge, weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll.

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Aus an < 2  folgt (2 − an) >0. Damit ist auch an+1 schon mal positiv (weil sein Produkt mit (2 − an) größer als 1 und somit auch positiv ist).

Damit sind die nachfolgenden Glieder auch positiv und liegen zwischen 0 und 2.

Zu weiterem Erkenntnisgewinn probiere doch mal den möglichen Bereich für a2 aus

- wenn a1=0,5  ist

- wenn a1=1 ist

- wenn a1=1,5 ist

Avatar von 55 k 🚀
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Gelöscht.....................

Avatar von 11 k
a(n+1) = 2-a(n)

wurde nie behauptet.


Aus a(n) >1 folgt erst einmal, dass 2-an<1 ist. Da an+1 aber kleiner als 2 bleiben muss, muss 2-an größer als 0,5 sein (sonst wäre das Produkt nicht mehr >1).

Damit ergibt sich die Zusatzforderung, dass an schon mal kleiner als 1,5 ist.

Wo wurde denn a(n) >1   behauptet ?

Danke, jetzt fange ich schon an, etwas zu sehen, was da nicht steht.

a(n) > 1 sehe ich jetzt auch nicht.

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