Grenzwert mithilfe von Eigenschaften einer Folge bestimmen.

Question

Aufgabe:

Sei (a_n)n∈N eine Folge reeller Zahlen mit a_n < 2 und a_n+1(2 − a_n) > 1 für alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass
(a_n)n∈N konvergent mit Grenzwert 1 ist.

Problem/Ansatz:

Da hier keine Folge gegeben ist, sondern lediglich zwei Eigenschaften der Folge, weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll.

Answer 1

Aus a_n < 2  folgt (2 − a_n) >0. Damit ist auch a_n+1 schon mal positiv (weil sein Produkt mit (2 − a_n) größer als 1 und somit auch positiv ist).

Damit sind die nachfolgenden Glieder auch positiv und liegen zwischen 0 und 2.

Zu weiterem Erkenntnisgewinn probiere doch mal den möglichen Bereich für a2 aus

- wenn a1=0,5  ist

- wenn a1=1 ist

- wenn a1=1,5 ist

Answer 2

Gelöscht.....................

Comments

a(n+1) = 2-a(n)

wurde nie behauptet.

Aus a(n) >1 folgt erst einmal, dass 2-a_n<1 ist. Da a_n+1 aber kleiner als 2 bleiben muss, muss 2-a_n größer als 0,5 sein (sonst wäre das Produkt nicht mehr >1).

Damit ergibt sich die Zusatzforderung, dass a_n schon mal kleiner als 1,5 ist.

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Wo wurde denn a(n) >1   behauptet ?

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Danke, jetzt fange ich schon an, etwas zu sehen, was da nicht steht.

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a(n) > 1 sehe ich jetzt auch nicht.