Schnittgerade von 2 Ebenen mit Parameter

Question

Aufgabe:

Berechnen der Schnittgeraden von:

E1: -ax+y+2z=2

und

E2: -2x+2y+az=3

und angeben, für welche a sich E1 und E2 schneiden.

Problem/Ansatz:

Ich komm nicht weiter, da wenn ich die Methode anwende, die ich auch beim ermitteln einer Schnittgeraden anwende, wenn kein Parameter dabei ist, immer z.B. auf der einen Seite x= ...y+xa habe.

Ich bekomme also dieses a nicht weg und weiß nicht, wie ich so die Schnittgerade bestimmen soll, da ich ja nicht nach x, y, z umformen und dann in die andere Gleichung einsetzen kann, da immer noch dieses a bei x, y, z dabei ist.

Answer 1

Hallo exodria,

eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt.

Du benötigst also nur zwei Punkte, die beiden Ebenen angehören. Die hast du bereits, wenn du zwei verschiedene Tripel (x,y,z) findest, die das Gleichungssystem

 -ax+y+2z=2
-2x+2y+az=3

Aus diesem System können wir noch eine Variable eliminieren, mit fällt dabei y ins Auge.

Wenn wir die erste Gleichung mit (-2) multiplizieren und zur zweiten Gleichung addieren, erhalten wir

(2a-2)x + (a-4) z = -1.

Jetzt suchen wir uns irgendeinen einfachen x- oder z-Wert aus:

Wenn x=0  wäre, dann gilt (falls a NICHT 4 ist)  z=\( \frac{1}{4-a} \)

Wenn man dieses x und dieses z in eine der beiden (z.B. in die erste) Gleichung einsetzt, erhält man

y+ 2\( \frac{1}{4-a} \)=2 und daraus

y=\( \frac{6-2a}{4-a} \),

Ein erster gemeinsamer Punkt beider Ebenen ist also (0|\( \frac{6-2a}{4-a} \)|\( \frac{1}{4-a} \)),.

Einen zweiten Punkt findest du, wenn du in (2a-2)x + (a-4) z = -1 beispielsweise z=0 wählst und daraus das zugehörige x und dann das passende y ausrechnest.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort.

Ich komm nur leider nicht auf den y-Wert. Wenn ich das umforme komme ich auf y=4-a.

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ok, hab den Fehler. Hab dividiert anstatt subrahiert.

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Für z=0 wäre x=\( \frac{1}{2-2a} \).

Dann gilt y=2+ax = \( \frac{4-4a}{2-2a} + \frac{a}{2-2a}\)= \( \frac{4-3a}{2-2a} \)

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Und wie ermittel ich die a's für die die Ebenen sich schneiden?

Habe jetz ja den Richtungsvektor der Geraden.

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Und wie ermittel ich die a's für die die Ebenen sich schneiden?

Das sind die a's, mit denen die Normalenvektoren keine Vielfachen voneinander sind.

Übrigens: Einen Richtungsvektor der Schnittgeraden bekommst du AUCH, wenn du das Vektorprodukt der Normalenvektoren beider Ebenen bildest.

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stimmt. wäre deutlich einfacher

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und die Schnittgerade existiert für jedes beliebige a, richtig?