Mathe extremwertaufgabe optimierung

Question

Aufgabe:

Vier Stangen von jeweils 4m Länge sollen das Gerüst eines Zeltes in Form einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche bilden. Gesucht ist das Zelt mit dem größten Volumen. Stellen Sie das Volumen als Funktion in Abhängigkeit von
(a) der Grundkante a, (b) der Höhe h,
(c) dem Neigungswinkel α dar

Problem/Ansatz:

ich verstehe die Aufgabe einfach gar nicht und komme auch gar nicht weit. Ich weiß das ich eine HB habe

V=1/3*ah2*h

dann müsste ich h und a herausfinden aber wie

Und Wie soll ich das Volumen als Funktion in Abhängigkeit von dem Neigungswinkel herausfinden

Answer 1

a)

$$V(h)= h*(4^2-h^2)*2/3$$

$$V(h)=-2/3h^3+16h$$

$$V'(h)=-2h^2+16=0$$

$$h= \sqrt{8} ≈2,828m$$

$$V(h)≈2,828*(16-8)*2/3=15,085m^3$$

$$a= \sqrt{2*8} =4m$$

$$α=arcsin (h/4)≈44,9913°$$

b)

$$V(a)=a^2* \sqrt{4^2-a^2/2}/3$$

c)

$$V(α)=4*sin(α)*(4^2*cos^2(α))*2/3$$

Comments

Dankeschön das hat mir sehr geholfen.

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Könnte ich Sie noch fragen wie sie auf die Formel von c gekommen sind.

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Der Neigungswinkel α ist hier der Neigungswinkel der Zeltstangen.

Dann ist h/4 = sin (α)

h =4* sin (α)

Nun nehme ich die Formel für h

V(h)=h*(4^2 - h^2)^2*2/3

Und setze für h = 4*sin (α) ein.

V(α)=4*sin(α)(4^2 - 4^2*sin^2(α))*2/3

Dabei ist aber

cos^2(α)+sin^2(α)=1

cos^2 (α) = 1-sin^2(α)

mit

4^2 cos^2 (α) =4^2 - 4^2*sin^2(α)

V(α)=4*sin(α)*4^2 cos^2 (α) *2/3

V(α)=sin(α)*cos^2 (α) 128/3

Jetzt könnte man noch mit trigonometrischen Funktionen rumspielen,

V(α)=sin(2α)*cos (α) *64/3

Answer 2

a) Hauptbedingung: V=a²/3·h

Nebenbedingung (a/√2)²+h²=16.

Nebenbedingung nach h auflösen und in Hauptbedingung einsetzen.

Comments

Ich bedanke mich. Und Wie soll ich das Volumen als Funktion in Abhängigkeit von dem Neigungswinkel herausfinden?

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Die Nullstellen der Ableitung finden und auf Mini- und Maximum überprüfen.

Answer 3

a = 4 m

Hier zunächst die Skizze mit Beschriftung

d = Flächendiagonale

V = 26.666 * 2.31 * 1/3
V = 20.53 m^3
mfg