Aloha :)
Die Determinante der Koeffizienten-Matrix beträgt:
$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 2 & 0\\2 & 0 & a^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & -2 & a^2-2\end{array}\right|=a^2-2-2=a^2-4=(a-2)(a+2)$$
Für \(a\ne\pm2\) ist die Determinante ungleich null und das LGS hat eine eindeutige Lösung.
Für \(a=\pm2\) können wir elementare Gauß-Umformungen anwenden:
$$\begin{array}{rrrrcl}x_1 & x_2 & x_3 & = && \text{Aktion}\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 && \\1 & 2 & 0 & -1 && -\text{Zeile 1}\\2 & 0 & 4 & \pm2 && -2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 && -\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -1 & -1 && \\0 & -2 & 2 & \pm2 && +2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline 1 & 0 & 2 & 1 && \\0 & 1 & -1 & -1 && \\0 & 0 & 0 & \pm2+2\\\hline\hline\end{array}$$
Für \(a=+2\) wird die letzte Gleichung immer unwahr, das LGS hat keine Lösung.
Für \(a=-2\) wird die letzte Gleichung immer wahr, das LGS hat unendlich viele Lösungen.