Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a ... die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems

Question

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a Element R R die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über R.

\( \begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3} &=0 \\ x_{1}+2 x_{2} &=-1 \\ 2 x_{1}+a^{2} x_{3} &=a \end{aligned} \)

und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Geben Sie dabei auch explizit an, für welchen Wert von
a das Gleichungssystem keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen hat.

Answer 1

Aloha :)

Die Determinante der Koeffizienten-Matrix beträgt:

$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 2 & 0\\2 & 0 & a^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & -2 & a^2-2\end{array}\right|=a^2-2-2=a^2-4=(a-2)(a+2)$$

Für \(a\ne\pm2\) ist die Determinante ungleich null und das LGS hat eine eindeutige Lösung.

Für \(a=\pm2\) können wir elementare Gauß-Umformungen anwenden:

$$\begin{array}{rrrrcl}x_1 & x_2 & x_3 & = && \text{Aktion}\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 && \\1 & 2 & 0 & -1 && -\text{Zeile 1}\\2 & 0 & 4 & \pm2 && -2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline 1 & 1 & 1 & 0 && -\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -1 & -1 && \\0 & -2 & 2 & \pm2 && +2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline 1 & 0 & 2 & 1 && \\0 & 1 & -1 & -1 && \\0 & 0 & 0 & \pm2+2\\\hline\hline\end{array}$$

Für \(a=+2\) wird die letzte Gleichung immer unwahr, das LGS hat keine Lösung.

Für \(a=-2\) wird die letzte Gleichung immer wahr, das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Comments

Danke dir!

Was darf ich unter "interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch" verstehen? Oder wie würdest du es machen?

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Geometrisch ist eine eindeutige Lösung ein Punkt.

Die unendlich vielen Lösungen liegen auf einer Geraden. Im Falle \(a=-2\) "verlieren" wir eine Gleichung, weil die dritte Zeile nur Nullen enthält. Damit haben wir nur noch 2 Gleichungen für drei Variablen \(x_1,x_2,x_3\). Wir können also immer eine Variable frei wählen. Die beiden anderen sind dann druch die beiden Gleichungen bestimmt. Ein frei wählbarer Parameter bedeutet, wir haben eine Gerade im 3-dimensionalen Vektorraum.