$$b^{32} = (b^2)^{2^{2^{2^2}}} = (aba^{-1})^{2^{2^{2^2}}} = (aba^{-1} \cdot aba^{-1})^{2^{2^2}}$$
Nun weißt du das \( a^{-1} \cdot a = e \) gilt. Also: \( (aba^{-1} \cdot aba^{-1})^{2^{2^2}} = (ab^2a^{-1} )^{2^{2^2}} \)
Insgesamt:
$$b^{32} = ab^{16}a^{-1} = a(ab^8a^{-1})a^{-1} = a^2 b^8a^{-2} = a^3b^4a^{-3} = a^4b^2a^{-4} = a^5ba^{-5} \overset{a^5=e}{=} b$$
Daher hat \( b \) Ordnung 31.