Bestimmen Sie die Ordnung von b

Question

Aufgabe:

Es sei G eine Gruppe mit neutralem Element e. Es seien a, b ∈ G \ {e}, die a⁵ = e und aba⁻¹ = b² erfüllen.
Bestimmen Sie die Ordnung von b

Problem/Ansatz:

Leider habe ich noch keinen Ansatz gefunden, der zur Lösung führt.

Answer 1

$$b^{32} = (b^2)^{2^{2^{2^2}}} = (aba^{-1})^{2^{2^{2^2}}} = (aba^{-1} \cdot aba^{-1})^{2^{2^2}}$$

Nun weißt du das \( a^{-1} \cdot a = e \) gilt. Also: \( (aba^{-1} \cdot aba^{-1})^{2^{2^2}} = (ab^2a^{-1} )^{2^{2^2}} \)

Insgesamt:

$$b^{32} = ab^{16}a^{-1} = a(ab^8a^{-1})a^{-1} = a^2 b^8a^{-2}  = a^3b^4a^{-3} = a^4b^2a^{-4} = a^5ba^{-5} \overset{a^5=e}{=} b$$

Daher hat \( b \) Ordnung 31.