Wie kann man die Schnittmenge zweier Geraden bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Schnittmenge der Geraden E und F

E : 3x1 −4x2 −x3 = 4,

F : 3x1 −3x2 + x3 = 3.

Problem/Ansatz:

ist es möglich die Aufgabe mithilfe von Gauß zu lösen, falls nicht wie kann man sie sonst noch lösen?

Comments

Was ist denn die ursprüngliche (genaue) Aufgabenstellung?

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Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Bei \(E\) haben wir 3 Unbekannte \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) und eine Gleichung. Das heißt, du kannst 2 Unbekannte frei wählen und die dritte ist dann durch die Gleichung vorgegeben. Das heißt insebsondere, dass wir es bei \(E\) mit einem 2-dimensionalen Objekt zu tun haben, mit einer Ebene. Auch bei \(F\) handelt es sich aus dem gleichen Grund um eine Ebene. Als "Schnitt" von zwei Ebenen erwarten wir eine Gerade.

$$\begin{array}{rrrrcl}x_1 & x_2 & x_3 & = && \text{Aktion}\\\hline3 & -4 & -1 & 4 &&\\3 & -3 & 1 & 3 && -\text{Zeile 1}\\\hline3 & -4 & -1 & 4 && +4\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 2 & -1 && \\\hline3 & 0 & 7 & 0 && \\0 & 1 & 2 & -1 && \\\hline\hline \end{array}$$

Wir lesen daraus folgende Ergebnisse ab:$$3x_1+7x_3=0\quad;\quad x_2+2x_3=-1\quad\implies\quad x_1=-\frac{7}{3}x_3\quad;\quad x_2=-1-2x_3$$Damit können wir die Lösungen angeben:

$$\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-\frac{7}{3}x_3\\-1-2x_3\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\-1\\0\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{r}-\frac{7}{3}\\-2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\-1\\0\end{array}\right)-\frac{x_3}{3}\left(\begin{array}{r}7\\6\\-3\end{array}\right)$$Da wir für \(x_3\) alle Werte aus \(\mathbb R\) einsetzen dürfen, haben wir die Lösungsgerade gefunden. Setzen wir noch \(s\coloneqq-\frac{x_3}{3}\), können wir alle Lösungspunkte auf der Schnittgeraden finden:

$$g_s:\;\vec x=\left(\begin{array}{r}0\\-1\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}7\\6\\-3\end{array}\right)\quad;\quad s\in\mathbb R$$

Answer 2

Bei E und F handelt es sich um zwei Ebenen. Diese sind nicht parallel weil die Normalenvektoren [3, -4, -1] und [3, -3, 1] linear unabhängig sind. Damit erwartet man eine Schnittgerade.

In diesem Fall kannst du Punkte der Schnittgeraden schon sehen.

E : 3x - 4y - z = 4
F : 3x - 3y + z = 3

Siehst du das [0, -1, 0] bereits eine Lösung ist? Solltest du tatsächlich keine Lösung sehen, kannst du immer anfangen das System mit dem Gauss zu lösen. Allerdings kann man am Anfang meist eine sehr einfache Lösung sehen.

Nachdem wir einen Punkt haben brauchen wir nur noch den Richtungsvektor der Geraden. Den erhalten wir am einfachsten über das Kreuzprodukt der Normalenvektoren

[3, -4, -1] ⨯ [3, -3, 1] = [-7, -6, 3] = -[7, 6, -3]

Damit lautet die Schnittgerade

g: X = [0, -1, 0] + r·[7, 6, -3]