absolute konvergenz beweis

Question

Hallo meine Aufgabe lautet

Aufgabe:

Es seien ∑ an^2 und ∑ bn^2 zwei konvergente Reihen. Zeigen Sie ∑ anbn konvergiert absolut.

(Bei den Summenformlen steht überall n = 1 bis ∞)

Problem/Ansatz:

Muss ich jetzt zeigen, dass zB an absolut konvergent ist und dann ist automatisch alles absolut konvergent ? Und welches Kriterium nehme ich am besten dazu ?

Answer 1

Für alle reellen Zahlen a, b, gilt die Ungleichung a^2 + b^2 ≥2ab. Die diese Ungleichung insbesondere auch für positive reelle Zahlen gilt, kann man die Aussage zu a^2 + b^2 ≥2|ab| verschärfen.

Wenn beide Reihen konvergieren, konvergiert auch die Summe beider Reihen, die Summe ist dass eine konvergente Majorante für die Summe aller 2|a_nb_n| und erst recht für  |a_nb_n|.