Lösen einer Differentialgleichung

Question

Ich habe versucht die Differentialgleichungen

1) x' =-3x  

und 2) x' +4x =12 zu lösen

Ich habe folgende Resultate erhalten:

1) eigentlich gar nichts

2) A(t) = 3e^4t

Was muss ich nun (wenn das Ergebnis überhaupt richtig ist) mit A(t) machen? 

Answer 1

$$  x' =-3x   $$
$$  \frac{dy}{dx} =-3x  \,\,\,|\, \int [\,\,\cdot \cdot\cdot\,\,]dx $$
$$ \int [ \, \frac{dy}{dx}\,]dx =-3  \cdot\, \int [\,x\,]dx $$
$$ \int \,1 \cdot{dy} =-3  \cdot\, \int \,x\,dx $$
na - kommst du weiter nun ?
Und vergiss nicht die Integrationskonstante !!!

Comments

Pleindespoir,

Schon etwas spät. Überprüf nochmal deine Antwort x' sollte doch bestimmt dx/dt bedeuten.

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Richtig - Verbesserung:

$$x′=−3x  $$
$$\frac{dx}{dt}=−3x  $$
$$\frac1x\frac{dx}{dt}=−3  $$
$$\int \,\frac1x\frac{dx}{dt}\, dt=−\int 3 \,dt $$
$$\int \,\frac1x\, dx=− 3 t +C^*$$
$$ln|x|=− 3 t +C^*$$
$$e^{ln|x|}=e^{− 3 t +C^*}$$
$$x=C \cdot e^{− 3 t }$$

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b) allgemeine Lösung

$$x' +4x =12$$
$$x'  =12-4x$$
$$\int \,\frac1{12-4x}\, dx  =\int 1 \, dt$$
$$\frac14 ln|12-4x|\,   =t+C^{**}$$
$$e^{\frac14 ln|12-4x|}\,   =e^{t+C^{**}}$$
$$(12-4x)^{\frac14}\,   =C^* \cdot e^{t}$$

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Unsinn - ich kanns nicht mehr bearbeiten ...

man hätt ja vorher eine homogene machen müssen!

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geht doch besser direkt, aber jetzt ohne Vorzeichenfehler:
$$-\frac14ln|12−4x|  =t+C^{∗∗}$$
$$12-4x\,   =(C^* \cdot e^{t})^{-4}$$
$$12-4x\,   =C \cdot e^{-4t}$$
$$-4x\,   =C \cdot e^{-4t}-12$$
$$x(t)\,   =C \cdot e^{-4t}+3$$