Komplexe Zahlen Mitternachtsformel

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen, die diese Gleichung erfüllen:

$$z^{2}+(1-i)*z-i=0$$

Mitternachtsformel:

$$z1,2=\frac{-1+i+-\sqrt{2*i}}{2}$$

Dann habe ich die komplexe Wurzel gelöst mittels der Formel zum Wurzelziehen von komplexen Zahlen in Polardarstellung. Das ergab natürlich 2 Wurzeln:

$$z0=1+i$$

$$z1=-1+i$$

Problem/Ansatz:

Woher soll ich jetzt wissen welche Wurzel z0 oder z1 ich in die Mitternachtsformel einsetzten soll. Tatsächlich habe ich durch Ausprobieren herausbekommen, dass nur das Einsetzen von z0 auf die in der Lösung angegebenen Werte kommt. Nur verstehe ich eben nicht, warum dies nur z0 erfüllt. Weiß da jemand mehr?

Danke

Answer 1

\(z1=-1+i\)

Korrekt ist

        \(z1 = -1 - i\)

\(z1,2=\frac{-1+i+-\sqrt{2*i}}{2}\)

Das \(+-\) kommt daher, dass für \(x \geq 0\) sowohl

        \(\sqrt{x}^2 = x\)

als auch

      \(\left(-\sqrt{x}\right)^2 = x\)

ist.

Das ergab natürlich 2 Wurzeln:

Wenn du beide einsetzt, dann brauchst du das +- vor der Wurzel nicht mehr.