Bestimmen Sie P(X = k) und den Erwartungswert von X

Question

Aufgabe:

X sei eine diskrete Zufallsvariable auf einem W-Raum (Ω, A, P) mit Werten in N. Es werden unabhängige Zufallsexperimente bis zum Erreichen des ersten Erfolges durchgeführt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt jeweils p ∈ (0, 1). Die Zufallsvariable X nimmt den Wert k an, falls der erste Erfolg im k-ten Versuch eintritt.

Bestimmen Sie P(X = k) und den Erwartungswert von X.

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis genau im \(k\)-ten Versuch eintritt ist:$$p(X=k)=(1-p)^{k-1}p$$In den ersten \(k-1\) Versuchen muss das Gegenereignis eintreten und im \(k\)-ten Versuch muss das Ereignis eintreten. Der Erwartungswert \(\mu_X\) ist daher:

$$\mu_X=\sum\limits_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}p=p\sum\limits_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}=-p\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{d}{dp}(1-p)^{k}=-p\frac{d}{dp}\sum\limits_{k=0}^\infty (1-p)^{k}$$Wegen \(p\in(0;1)\) bzw. \((1-p)\in(0;1)\) entpuppt sich die Summe als konvergente geometrische Reihe und wir können, da wir uns im Konvergenzradius der Potenzreihe bewegen, die Ableitung vor das Summenzeichen ziehen. Mit der bekannten Formel für den Grenzwert der geometrischen Reihe rechnen wir weiter:$$\mu_X=-p\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{1-(1-p)}\right)=-p\frac{d}{dp}\left(\frac{1}{p}\right)=-p\,\left(-\frac{1}{p^2}\right)=\frac{1}{p}$$