Anzahl und Koordinaten der Schnittpunkte von p(x)= -x^2 + 4x und gt (x) = 2t x +1

Question

p(x)= -x² + 4x

und gt (x) = 2t x +1

Gesucht: Anzahl und Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen

Comments

Die Anzahl und die Koordinaten der Schnittpunkte sind von t abhängig. Sollst du da allgemeine Fallunterscheidungen machen oder hast du noch weitere Angaben?

Answer 1

p(x)= -x² + 4x

und gt (x) = 2t x +1

Die Schnittpunkte bekommt man, wenn man die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt.

-x^2 + 4x = 2tx + 1

0 = x^2 + (2t-4)x + 1 

Das ist eine quadratische Gleichung für x.

Nun betrachtet man die Diskriminate

D(t) = b^2 - 4ac = (2t - 4)^2 - 4         |nach oben geöffnete Parabel.
Damit da nur eine Lösung vorhanden ist, muss D=0 sein.
 (2t - 4)^2 - 4 =0
(2t - 4)^2 = 4
2t - 4 = ±2
2t= 4 ± 2
t= 2 ±1
t1= 3
t2= 1

Folgerung 
für 1<t<3 gibt es keinen Schnitpunkt.
für t>3 und für t>1 gibt es 2 Schnittpunkte.

Bis hierhin sieht das nun mal für t=1, 2,3 aus wie hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-x%5E2+%2B+4x%3B+y%3D2x+%2B+1+%3B+y%3D4x%2B1+%3B+y%3D6x%2B1

Hier mit t=0 und t=4 noch 2 Fälle mit 2 Schnittpunkten:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-x%5E2+%2B+4x%3B++y%3D8x%2B1+%3B+y%3D+1

Comments

Solltest du die Koordinaten der Schnittpunkte tatsächlich auch noch allgemein brauchen:

Nimm für die beiden Fälle, die Schnittpunkte haben, die Formel zur Auflösung von quadr. Gleichungen.

0 = x² + (2t-4)x + 1 
a=1, b=2t-4 und c=1.

Danach die gefundenen x-Werte noch in die Funktionsgleichung einsetzen.
Das kannst du nun bestimmt selbst.

Answer 2

Hier das machen wir alles ganz anders.

- x ² + 4 x = 2 t x + 1   ( 1a )

x ² + 2 x ( t - 2 ) + 1 = 0   ( 1b )

Das Problem ist, dass q > 0 , sonst wüssten wir ja von Vorn herein, dass es ( zwei ) reelle Wurzeln gibt. Aber denken wir mal vom Komplexen her; wir unterstellen bewusst, dass du zwei komplex konjugierte Lösungen z0 , z0* hast. Dann greif ich zu Vieta dem geschmähten Stiefkind

x ² - p x + q = 0   ( 2a )

q = | z0 | ² = 1 ===> | z0 | ² = 1  ( 2b )

p = 2 Re ( z0 ) = - 2 ( t - 2 ) ===> Re ( z0 ) = 2 - t   ( 2c )

D.h. für komplexe Lösung müsstest du haben

| Re ( z0 ) |   = | t - 2 | < 1   ( 3a )

und für Reell entsprechend

| t - 2 |   > = 1   ( 3b )

t < = 1 oder  t > = 3   ( 3c )