Partialbruchzerlegung mit Polynomdivision lösen

Question

Aufgabe:

\( \int \frac{3 x^{3}-8 x^{2}-7 x+22}{x^{2}-x-6} \)

Ich sollte diese Aufgabe mittels Partialbruchzerlegung lösen...

Kann mir bitte jemand das Beispiel erklären? Wär sehr nett :)

Answer 1

Erst mal dividieren (Zähler durch Nenner) gibt

3x-5 + (6x-8) / ( x^2-x-6)

Den Nenner kannst du (z.B. mit pq-Formel)

zerlegen in (x+2)(x-3)

und der Teil 3x-5 ist ja zum

Integrieren kein Problem . Für den Rest

(6x-8) / ( x^2-x-6)

machst du den Ansatz

(6x-8) / ( x^2-x-6) = A/(x+2) + B/(x-3) 

<=> (6x-8) / ( x^2-x-6) = ( (A+B)x -3A + 2B ) / ( x^2-x-6)

Koeffizientenvergleich der Zähler gibt

A+B=6    und  -3A + 2B = - 8

==>   A = 4  und B = 2

also (6x-8) / ( x^2-x-6) = 4/(x+2) + 2/(x-3)

Damit wird dein Integral zu

1,5x^2 - 5x + 4*ln(|x+2|) + 2*ln(|x-3|) + C

Comments

bei der Polynomdivision kommt doch als Rest 6x-8 heraus und nicht 6x-4, oder nicht? ^^

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Hab ich auch grad gemerkt. Ist korrigiert.

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Dankeschön! :) Das hat mir sehr gehofen.

Answer 2

\(\int \frac{3 x^{3}-8 x^{2}-7 x+22}{x^{2}-x-6} =\)

\(\int \frac{(x-2)(3x^2-2x-11)}{(x-3)(x+2)} \)