Bestimmen sie eine Orthonormalbasis w1,w2

Question

Aufgabe: hallo liebe Leutz,

eine generelle Frage habe ich zu einer Aufgabe und es wäre super wenn ihr mir dabei helfen könntet.

die frage lautet;

sei U={xeR^3|x*(2,-3,-1)=0}

Bestimmen sie eine Orthonormalbasis w1,w2

danke im voraus.

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren \((x_1;x_2;x_3)\in U\) müssen eine Gleichung erfüllen, nämlich:$$2x_1-3x_2-x_3=0\implies x_3=2x_1-3x_2$$

Daher können wir sie wie folgt darstellen:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\2x_1-3x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$$Diese beiden Basis-Vektoren müssen wir orthogonal machen:

$$\vec b_1\coloneqq\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$$$\vec b_2\coloneqq\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}-\left(\frac{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right\|^2}\right)\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}+\frac{6}{5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec b_2}=\begin{pmatrix}1,2\\1\\-0,6\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}$$

und schließlich noch normalisieren:$$\vec w_1=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec w_2=\frac{1}{\sqrt{70}}\begin{pmatrix}6\\5\\-3\end{pmatrix}$$

Comments

Ich hätte da einige Fragen, bezüglich einiger Schritte.

Wieso hat man wenn man die Gleichung erfüllt als Vektoren (102) und (01-3) raus und

Wie könnte ich das alles aus dem Kopf berechnen sprich den Basis Vektoren orthogonal machen teil

Dankesehr im Voraus

Answer 2

x*(2,-3,-1)=0  und x = (a,b,c)  ==>   2a -3b -c = 0 

                             ==>   c = 2a-3b

==>  x = ( a;  b ;  2a-3b ) = a*( 1;0;2) + b*(0 ; 1 ; -3 ).

==> { ( 1;0;2)  ; (0 ; 1 ; -3 ) } ist eine Basis für U

Die sind aber nicht orthogonal . Bestimme also   z =  u*( 1;0;2)+v (0 ; 1 ; -3 ),

so, dass z orthogonal zu ( 1;0;2) ist , also z*  ( 1;0;2) = 0

                                (u*( 1;0;2)+v (0 ; 1 ; -3 ))* ( 1;0;2) = 0

                                u*5  + v*(-6) = 0 ==>   u = 1,2v

also z=  1,2v*( 1;0;2) + v* (0 ; 1 ; -3 ) = ( 1,2v ; v ;  -0,6v) =

                                               = v* ( 1,2 ; 1 ; -0,6 ) .

Also wäre  {( 1;0;2) , ( 1,2 ; 1 ; -0,6 ) } eine orthogonale Basis.

Beide normieren gibt ( 0,2 ; 0 ; 0,4) und 1/√2,8 *  ( 1,2 ; 1 ; -0,6 ) .

Comments

vielen lieben dank