Zeigen Sie, dass \sin \bar{z} und \sin |z| auf \mathbb{C} nicht holomorph sind.

Question

Aufgabe:
Benutzen Sie den Identitätssatz für die folgenden drei Aufgaben.
(a) Zeigen Sie, dass $\sin \bar{z}$ und $\sin |z|$ auf $\mathbb{C}$ nicht holomorph sind.
(b) Zeigen Sie, dass $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$ für ganze Funktionen $f,$ die auf $\mathbb{R}$ reellwertig sind.
(c) Warum widerspricht $, \sin x=\sin 2 x$ für alle $x \in \pi \mathbb{Z}^{4}$ nicht dem Identitätssatz?

Kann jemand sagen, wie man hier vorzugehen hat?

Answer 1

Hallo,

betrachte

$$f,g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f(z):= \sin(z) \text{ und } g(z):=\sin(\bar{z})$$

Diese Funktionen stimmen für $z \in \mathbb{R}$ überein. f ist holomorph. Wenn g holomorph wäre, würden f und g nach dem Identitätssatz auf ganz $\mathbb{C}$ übereinstimmen - tun sie aber nicht.

Gruß

Comments

Oh okay, danke für den Tipp!