Bestimmen Sie die Mindestanzahl an Wurfen, so dass ¨ P(A) ≤1/100.

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Es wird n mal mit einem fairen Wurfel gewurfelt. Sei Xi die Augenzahl im i-ten Wurf, i = 1, . . . , n. Die mittlere Augenzahl ist daher X := 1∑ i=1 bis n (Xi). Sei A das Ereignis, dass die Abweichung der mittleren Augenzahl X zur erwarteten Augenzahl eines Wurfelwurfs, d.h. ¨ E(Xi), größer oder gleich 1/10 ist.

Bestimmen Sie die Mindestanzahl an Wurfen, so dass ¨ P(A) ≤1/100.

Comments

Die mittlere Augenzahl ist daher X := 1∑ i=1 bis n (Xi)

Das halte ich für falsch.

Answer 1

Ich versteh die Aufgane so. Es ist die Anzahl \( n \) der Augenwürfe gesucht, s.d. gilt

$$ \mathbb{P}  \left\{ \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu \right| \ge \frac{1}{10} \right\} \le \frac{1}{100} $$

Mit dem Zentralengrenzwertsatz folgt, die Größe $$ \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu }{ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} } \sim N(0,1) $$ ist standard normalverteilt.

Damit ergibt sich, dass das Problem äquivalent zu

$$ \mathbb{P} \left\{  \left| \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu }{ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} } \right| < \frac{\sqrt{n}}{10 \sigma} \right\} \ge 0.99 $$ ist.

D.h. $$ \Phi(\varepsilon) - \Phi(-\varepsilon) \ge 0.99 $$ mit \( \varepsilon = \frac{\sqrt{n}}{10 \sigma} \)

das bedeutet $$ \varepsilon = \frac{\sqrt{n}}{10 \sigma} \ge \Phi^{-1} \left( \frac{1.99}{2} \right) $$ oder $$ n \ge \left[ 10 \sigma  \Phi^{-1} \left( \frac{1.99}{2} \right) \right]^2 $$

und \( \Phi() \) ist die Standardnormalverteilungsfunktion.