(Binomialverteilung) Mindestanzahl an SuS berechnen um mit einer Wahrsch. von 90% auf mind. eine Prs zu treffen...

Question

Aufgabe:

In einer Umfrage wurden 1000 Schüler befragt.

2% gaben an, sich nie gestresst zu fühlen.

40% gaben an, sich häufig gestresst zu fühlen.

6% gaben an, sich immer gestresst zu fühlen.

Berechne die Anzahl an SuS die man mindestens befragen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% auf mindestens eine Person trifft, die sich nie gestresst fühlt.

Ansatz:

gesucht: n

gegeben: p=0,02 und k>=1

P(X=k)=(n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

0,9 = (n über 1) * 0,2 * 0,8^(n-1)

0,9 = 0,2n * 0,8^(n-1)

Problem: Wie löse ich das jetzt auf? Ist soweit überhaupt alles richtig?

Ich bedanke mich herzlich im Voraus

Comments

Hm... vielleicht demonstriere ich morgen für ein Verbot von Abkürzungen...

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SuS  (Schülerinnen und Schüler)

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SuS  (Schülerinnen und Schüler)

Mir wurde aus berufenem Munde mitgeteilt, dass dies nicht stimme, sondern es
"SuS = Schüler und Schülerinnen"
heißen müsse.

Was nun?

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Kommutativgesetz!!!

\(A\, \land \, B = B \, \land \, A\)

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Genau daran bestehen ja die Zweifel.

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Bei zwei logisch äquivalenten Aussagen ist es doch egal.

Answer 1

In einer Umfrage wurden 1000 Schüler befragt.
2% gaben an, sich nie gestresst zu fühlen.
40% gaben an, sich häufig gestresst zu fühlen.
6% gaben an, sich immer gestresst zu fühlen.

Berechne die Anzahl an SuS die man mindestens befragen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% auf mindestens eine Person trifft, die sich nie gestresst fühlt.

0.02 ist die WK dass sich ein Schüler nie gestresst fühlt.

1 - 0.02 ist die WK dass sich ein Schüler häufig oder immer gestresst fühlt.

(1 - 0.02)^n ist die WK dass sich von n Schülern alle n Schüler häufig oder immer gestresst fühlen.

1 - (1 - 0.02)^n ist die WK dass sich von n Schülern mind. ein Schüler nie gestresst fühlt.

1 - (1 - 0.02)^n ≥ 0.9 Diese WK soll bei mind. 90% liegen. Somit haben wir den Ansatz gefunden der zu lösen ist.

Diese Gleichung ist jetzt einfach nach n über Äquivalenzumformungen zu lösen

1 - 0.9 ≥ (1 - 0.02)^n

(1 - 0.02)^n ≤ 1 - 0.9

n * ln(1 - 0.02) ≤ ln(1 - 0.9)

n ≥ ln(1 - 0.9) / ln(1 - 0.02)

n ≥ 113.97

n ≥ 114

Man muss mind. 114 Schüler befragen.

Answer 2

Spann das Pferd von hinten auf. Die Wahrscheinlichkeit für (mind.) einen Treffer ist die Gegenwahrscheinlichkeit für keinen Treffer.

0.9=1-(1-0.02)^n

0.9=1-0.98^n

0.98^n=0.1

⇒ ⌈n⌉=114

Comments

Die obere Gaußklammer, wie bei Larry macht mehr Sinn. In meiner Antwort gäbe es für

0.9=1-(1-0.02)^n  , n∈ℕ

nämlich keine Lösungen!

Answer 3

Mit der GegenWSK zu rechnen ist eleganter.

1 - P(X = 0) ≥ 0.9

...

n ≥ ceil(ln(1-0.9) / ln(1-0.02)) = 114